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Ley de enfriamiento de Newton

Según la ley empírica de Newton acerca del enfriamiento, la rapidez con que se enfría un objeto es proporcional a la diferencia entre su temperatura y la temperatura del medio ambiente en el cual se encuentra el objeto.

Una ecuación diferencial que representa esta ley es dT/dt = k(T-Tm) donde Tm es la temperatura del medio.

En el video tutorial se muestra la solución general a esta ecuación diferencial que representa la ley de enfriamiento de newton mediante el uso del método de separación de variables. Adicionalmente se muestra un ejemplo práctico para ilustrar su uso.

El ejemplo nos dice que un termómetro se saca de un recinto donde la temperatura del aire es de 70F y se lleva o otro sitio donde la temperatura es 10F. Después de 1/2 minuto la temperatura mostrada en el termómetro es de 50F. La pregunta es cuál es la temperatura cuando ha transcurrido un minuto

En este video hablaremos acerca de una de las aplicaciones más importantes que existen en las ecuaciones diferenciales, hablaremos sobre la ley de enfriamiento de Newton, que nos dice que la rapidez con la que se enfría un objeto es proporcional a la diferencia entre su temperatura y la del medio ambiente que le rodea, al hablarnos de la rapidez vemos que de lo que nos están hablando es de una derivada, entonces la ley de enfriamiento de Newton matemáticamente se expresa como: dT/dt = k(T-Tm) donde T es la temperatura del cuerpo, Tm es la temperatura del medio y k es una constante conocida . Si queremos resolver esta ecuación, vemos que podemos utilizar el método de las variables separables, entonces separando variables tenemos: dT/(T-Tm)=kdt, integrando esta igualdad a ambos lados la solución que se obtiene es la siguiente: ln|T-Tm|= kt+C. Como vemos lo que nos interesa es despejar la temperatura T, despejándola de la ecuación anterior tenemos: T(t)=Ce^(kt)+Tm, esta ecuación nos permite estimar la temperatura de un cuerpo T en función del tiempo, los parámetros C y K se pueden hallar con las condiciones iniciales de cada problema en particular. 

Para ver el uso de esta ecuación se propone el siguiente problema: Un termómetro se saca de un recinto donde la temperatura del aire es de 70F y se lleva o otro sitio donde la temperatura es 10F. Después de 1/2 minuto la temperatura mostrada en el termómetro es de 50F. ¿Cuál es la temperatura cuando ha transcurrido un minuto? Para resolver el problema lo primero que hacemos es usar las condiciones iniciales que nos da el problema, para un tiempo de cero vemos que la ecuación es: 70°F= Ce^[k(0)]+10°F, si despejamos a C, vemos que adquiere un valor de C=60°F, usando la otra condición tenemos: 50°F= 60°e^[k(1/2)]+10°F, si despejamos a k, vemos que adquiere un valor de k=.0.81, como ya tenemos el valor de los parámetros podemos hallar la temperatura cuando ha trascurrido 1 minuto, en el video se muestra este procedimiento.
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