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Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior (el problema del valor inicial)

Introducción al concepto del problema de valor inicial para ecuaciones diferenciales lineales de orden superior.

Se dan las tres condiciones para que un problema de valor inicial tenga solución única en un punto x. Se muestran dos ejemplos donde se aclara en caso la solución es única y cuando existen infinitas soluciones dada la discontinuidad de la función que multiplica a la derivada de orden superior

En este video veremos las ecuaciones diferenciales de orden superior lineales, además de dos conceptos fundamentales como lo son los problemas de valor inicial y los problemas de valor de frontera. Una ecuación diferencial lineal de orden superior tiene la siguiente forma general: an(x)(y´N)+an-1(x)(y’N-1)+…a1(x)(y’)+a0(x)(y)= g(x), vemos que esta ecuación se llama de orden superior ya que encontramos derivadas más allá de la primera derivada. En este tipo de ecuación el orden lo define el grado de la derivada, en este caso diremos que el orden de la ecuación es N, ya que este es el mayor grado de la derivada. Lo que nos interesa estudiar de este tipo de ecuación es la manera de solucionarla, cuando teníamos una ecuación diferencial lineal de primer orden veíamos que su solución consistía en una solución monoparamétrica donde surgía una constante C que se podía encontrar usando las condiciones iniciales dadas por el problema, es decir que la función en un punto cualquiera adquiría un valor y(x0)=y0, para este nuevo tipo de ecuación vamos a tener varias condiciones para encontrar las posibles constantes que surgirán al solucionar dicha ecuación. 

En estos problemas tendremos dos tipos de condiciones, una de las condiciones la llamaremos problema de valor inicial y la otra la llamaremos problema de condiciones de frontera. El problema de valor inicial es resolver la ecuación diferencial que definimos al comienzo sujeta a la condición: y(x0)=y0, luego y’(x0)=y1,y’’(x0)=y2,,,y así sucesivamente hasta llegar al grado N, lo que tienen en común la función y todas sus derivadas es que las diferentes derivadas son halladas en el mismo punto x0. Este tipo de ecuación puede tener una única solución o no, para que haya una única solución se debe cumplir con ciertas condiciones que se explicaran detalladamente en el video, además se muestran dos ejemplos donde se aclara en caso la solución es única y cuando existen infinitas soluciones dada la discontinuidad de la función que multiplica a la derivada de orden superior.
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