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Ecuación lineal de primer orden (ejemplo 1)

Ejemplo del método de solución de una ecuación diferencial lineal de primer orden mediante el uso de un factor integrante.

En el ejemplo se muestra como encontrar el factor integrante identificando primero a p(x) llevando la ecuación original a la forma y'+p(x)y=f(x)
Una vez encontrado este factor integrante se procede a multiplicar la ecuación para llevarla a una forma integrable que permite despejar a y para encontrar finalmente la solución

En este video veremos un ejemplo de cómo resolver una ecuación diferencial lineal de primer orden, tenemos entonces la siguiente ecuación: xdy/dx-4y=(x^6)(e^x). Lo primero que debemos hacer para resolver este problema es verificar si la ecuación diferencial es una ecuación diferencial lineal, como vemos, la ecuación es lineal pero presenta el problema de que la variable x está multiplicando a una derivada, entonces debemos transformar la ecuación de tal manera que esto no suceda, para ello dividimos a ambos lados de la ecuación por x, la ecuación entonces adquiere la siguiente forma: dy/dx-4y/x=(x^5)(e^x) ,y debemos tener en cuenta que x tiene que ser distinto de cero. Esta ecuación tiene una forma asociada a la solución de este tipo de problemas, la forma que tiene esta ecuación es entonces: dy/dx+p(x)y=f(x), es decir una derivada que suma o resta un polinomio de x que está multiplicando la y, todo esto igualado a una función de x, como vemos en nuestro problema p(x) = 4/x y f(x)= (x^5)(e^x). 

El término p(x) es el término fundamental para la solución de nuestro problema ya que nos permite hallar el factor integrante que está definido como: e^∫p(x)dx, como vemos tenemos que hallar la integral de la función p(x), esta integral es igual a:∫p(x)dx=∫-4/x dx=-4lnx=lnx^-4, entonces: e^∫p(x)dx=e^(lnx^-4,)= x^-4, este valor es nuestro factor integrante. Una vez hallado el factor integrante lo que hacemos es multiplicar este factor por la ecuación diferencial lineal, tenemos entonces: (x^-4)(dy/dx)-(4/x^5)(y)=(x)(e^x), la importancia de esta trasformación es que la parte izquierda de esta ecuación, es la derivada con respecto a x del factor integrante multiplicada por y, es decir: d/dx((x^-4)(y))= x(e^x). Por último lo que debemos hacer es integrar a ambos lados y despejar a y, en el video se muestra de manera más detallada como realizan este procedimiento y llegan a la solución final de la ecuación diferencial lineal.
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