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Coseno de la diferencia de dos ángulos

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Demostración de la identidad para el coseno de la diferencia (resta) de dos ángulos cualquiera A y B

Ejemplo de utilización de la fórmula para el coseno de la resta de dos ángulos con la utilización de ángulos notables

La demostración se hace a partir de dos construcciones geométricas y del uso de la fórmula de distancia entre dos puntos

En este video vamos a demostrar la identidad para el coseno de la diferencia de dos ángulos cualquiera α y β. Para demostrar esta identidad partimos de dos construcciones, lo primero que hacemos es que en una circunferencia unitaria ubicamos el ángulo β y el ángulo α tal como lo muestra la figura del video, en la segunda construcción lo que hacemos es rotar el triángulo que se realizó en la primera construcción un ángulo β, así que tenemos que el ángulo resultante que tiene como lado adyacente al eje X es el ángulo α-β. Vemos además que ambas construcciones tienen en común el segmento AB, es decir la magnitud del segmento AB en las dos construcciones, es la misma, ya que lo único que hicimos fue la rotación del segmento por lo cual su magnitud no cambia.

Para demostrar la identidad lo que vamos a hacer es encontrar una ecuación para hallar la magnitud del segmento AB en cada una de las dos construcciones e igualarlas entre sí. Como vemos, en la primera construcción nos interesa hallar la coordenadas de los puntos A (X1,Y1) y B(X2,Y2), por definición sabemos que las coordenadas de estos puntos son: A(cosα,senα) y B(cosβ,senβ). La distancia entre el punto A hasta el B se calcula de la siguiente manera teniendo en cuenta lo visto en videos anteriores:d_AB=√((X1-X2)^2+(Y1-Y2)^2 ) , como sabemos cada una de estas coordenadas, luego de reemplazar los valores y simplificar vemos que la distancia entre el punto A y el B es d_AB=√(2-2cosαcosβ-2senαsenβ). En la segunda construcción hacemos exactamente lo mismo, lo único que varía son las coordenadas de los puntos A y B, como vemos en la segunda construcción las coordenadas de A (X1,Y1) son (cos(α-β),sen(α-β)) y las coordenadas de B(X2,Y2) son (1,0), aplicando la misma fórmula para la distancia entre dos puntos y reemplazando los valores y simplificando la expresión, tenemos que para esta construcción la distancia es: d_AB=√(2-2cos(α-β)). Igualando estas dos distancias y despejando vemos que llegamos a lo que queríamos demostrar: cos⁡(α-β)=cosαcosβ+senαsenβ.
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