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Coseno de la diferencia de dos ángulos

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Demostración de la identidad para el coseno de la diferencia (resta) de dos ángulos cualquiera A y B

Ejemplo de utilización de la fórmula para el coseno de la resta de dos ángulos con la utilización de ángulos notables

La demostración se hace a partir de dos construcciones geométricas y del uso de la fórmula de distancia entre dos puntos

En este video vamos a demostrar la identidad para el coseno de la diferencia de dos ángulos cualquiera α y β. Para demostrar esta identidad partimos de dos construcciones, lo primero que hacemos es que en una circunferencia unitaria ubicamos el ángulo β y el ángulo α tal como lo muestra la figura del video, en la segunda construcción lo que hacemos es rotar el triángulo que se realizó en la primera construcción un ángulo β, así que tenemos que el ángulo resultante que tiene como lado adyacente al eje X es el ángulo α-β. Vemos además que ambas construcciones tienen en común el segmento AB, es decir la magnitud del segmento AB en las dos construcciones, es la misma, ya que lo único que hicimos fue la rotación del segmento por lo cual su magnitud no cambia.

Para demostrar la identidad lo que vamos a hacer es encontrar una ecuación para hallar la magnitud del segmento AB en cada una de las dos construcciones e igualarlas entre sí. Como vemos, en la primera construcción nos interesa hallar la coordenadas de los puntos A (X1,Y1) y B(X2,Y2), por definición sabemos que las coordenadas de estos puntos son: A(cosα,senα) y B(cosβ,senβ). La distancia entre el punto A hasta el B se calcula de la siguiente manera teniendo en cuenta lo visto en videos anteriores:d_AB=√((X1-X2)^2+(Y1-Y2)^2 ) , como sabemos cada una de estas coordenadas, luego de reemplazar los valores y simplificar vemos que la distancia entre el punto A y el B es d_AB=√(2-2cosαcosβ-2senαsenβ). En la segunda construcción hacemos exactamente lo mismo, lo único que varía son las coordenadas de los puntos A y B, como vemos en la segunda construcción las coordenadas de A (X1,Y1) son (cos(α-β),sen(α-β)) y las coordenadas de B(X2,Y2) son (1,0), aplicando la misma fórmula para la distancia entre dos puntos y reemplazando los valores y simplificando la expresión, tenemos que para esta construcción la distancia es: d_AB=√(2-2cos(α-β)). Igualando estas dos distancias y despejando vemos que llegamos a lo que queríamos demostrar: cos⁡(α-β)=cosαcosβ+senαsenβ.
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Comentario


Avatar andres vergara dice:
Sunday, November 09, 2014
Profe estos de dos ángulos son los mismo que ángulos dobles
Avatar MIGUEL ANGEL ZARATE HERNANDEZ dice:
Wednesday, November 26, 2014
cos2x = 2cos2 x -1
Avatar Johel Junior Medina Beleño dice:
Tuesday, November 25, 2014
Si es lo mismo.!
Avatar velto_gobi@hotmail.com dice:
Sunday, November 16, 2014
cos (x-y)= cos x cos y + sen x sen y
Avatar julio neyra dice:
Sunday, November 16, 2014
Cos(a-b)= Cos(a).Cos(b) - Sen(a).Sen(b)
Avatar Bruno MINOLETTI dice:
Saturday, November 15, 2014
cos(a-ß)=cosacosß+senasenß
cos(a+ß)=cosacosß-senasenß
cos2a=cos(a+a)=cosacosa-senasena=cos²a-sen²a
Avatar Leyda Mayre Escalante Torres dice:
Wednesday, November 12, 2014
no, eso es suma o diferencia de ángulos, los ángulos dobles son:
ejemplo
sen2A= 2. sen (A) . cos (A)
cos 2A= cosA- senA (ojo el seno y coseno son al cuadrado, no los coloque por que no supe sacarlo en el teclado) puedes revisar el siguiente link y hay ejemplos http://www.aritor.com/trigonometria/angulo_doble.html
Avatar Maria Rosa Garcia Hernandez dice:
Wednesday, November 12, 2014
No para nada. Son completamente diferentes. Angulos dobles son superpuestos. Angulos de dos son simples y se hallan de otra forma dando digerentes tesultados.
Avatar Magaly Hernandez dice:
Tuesday, November 11, 2014
No, en el coseno de la suma se tienen que los dos ángulos son diferentes. En la expresión del coseno del ángulo doble se refiere a un solo angulo
Avatar flor villalobos dice:
Tuesday, November 11, 2014
no
Avatar Noe Salinas dice:
Tuesday, November 11, 2014
No, porque el termino de ángulos dobles nos da la condición solamente cuando el angulo ß y el angulo µ son iguales.
El termino de dos ángulos nos da que los ángulos son diferentes y una condición de tantas se puede presentar cuando estos ángulos pueden ser iguales que seria la condición anterior..
Avatar Raúl Letechipia dice:
Tuesday, November 11, 2014
Desde luego que no, la diferencia del coseno de la diferencia de dos ángulos es cos(a-b)=sin(a)sin(b)+cos(a)cos(b)
En cambio, el coseno del ángulo doblé tiñe tres resultados, uno de ellos es cos(2a)=cos^2(a)+sin^2(a)
Avatar Loren Viviana Mahecha Mosquera dice:
Tuesday, November 11, 2014
Si
Avatar Aldo Bento dice:
Tuesday, November 11, 2014
No. El coseno de la diferencia de dos ángulos es diferente al coseno del doble de un ángulo. Tienen fórmulas distintas, deducciones distintas y resultados distintos. Fijate en ambas lecciones para que veas la diferencia.
Avatar hathali sanchez dice:
Tuesday, November 11, 2014
No es totalmente diferente acuerdate que coseno de dos ángulos es cos (a-b) y coseno de angulo doble es cos2a son ecuaciones totalmente distintas al igual que sucede con el seno y demas razones trigonométricas
Avatar luisa arteaga dice:
Tuesday, November 11, 2014
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Avatar Cristian Felipe Calderón Barco dice:
Tuesday, November 11, 2014
Cuando hablo de diferencia de dos ángulos, hablo de la resta entre dos ángulos; esto es: Sen (a-b) = SenaCosb-CosaSenb y Cos(a-b) = Cosa.Cosb + Sena Senb.
Cuando hablo de ángulos dobles es diferente, se utiliza estas formulas; Sen2a=2SenaCosa y Cos2a= Cos cuadrado de a menos Sen cuadrado de a
Avatar guillermo quincha dice:
Monday, November 10, 2014
esto te puede ayudar http://www.dmae.upct.es/~pepemar/mateprimero/trigonometria/raztrgisuma.htm
Avatar Jaime Bermudez dice:
Monday, November 10, 2014
Cuidado con eso.
no es lo mismo decir coseno de 2X que 2 coseno x
en coseno de 2x te hablan de un angulo doble, mientras que 2coseno x es multiplicar el valor del coseno del angulo x por 2.
espero te quede claro. saludos
Avatar Morelia Morillo dice:
Monday, November 10, 2014
Angulos dobles son con otra formula...sen2a=sena.cosa
Avatar Carlos Gamarra dice:
Monday, November 10, 2014
No, no son los mismos,
Cos(x-y)= (COSx.COSy - SENx.SENy)
El coseno Del ângulo doble :
COS(2x)= COS^2(x) - SEN^2(x) No se comprende muy bien la pregunta pero infiero a que te refieres.
Saludos.
Avatar nataly salinas dice:
Monday, November 10, 2014
No, son dos cosas totalmente distintas.
Avatar javier montes dice:
Monday, November 10, 2014
Estimado: Cuando se trata del coseno de la dif de dos angulos estos no pueden ser iguales salvo que al serlos se tenga el cos 0 pues si son iguales la dif de ambos angulos se reduce a cero. Respecto a los angulos dobles, es otro tema cos2 x
Avatar carlos piñeyro dice:
Monday, November 10, 2014
Cos(a-b)= cos a. cos b + sen a.sen b
Avatar Roberto Cuartas dice:
Monday, November 10, 2014
No, pero ese tema se encuentra en el curso.
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