Ejemplo de aplicación de los triángulos rectángulos y la trigonometría para solucionar problemas reales

Deducción de una fórmula para encontrar el área de un cuadrilátero conocidas las medidas de las diagonales y el ángulo de corte entre estas.

Se demuestra que el área es igual al producto medio de las diagonales por el seno del ángulo

En este video vamos a mostrar una de las tantas aplicaciones que tiene la trigonometría en el mundo real. El problema es el siguiente: Haga la deducción de una fórmula para encontrar el área de un cuadrilátero conocidas las medidas de las diagonales y el ángulo de corte entre estas. En el video se muestra un cuadrilátero en donde conocemos las magnitudes de sus diagonales o segmentos AB (a) y CD (b), además del ángulo (α) entre ellas. Vemos que el área del cuadrilátero es (Ac) es igual a la suma del triángulo ABC más el triángulo ABD. El área del triángulo ABC es igual a un medio de la base (a) por la altura, que es el segmento CR, este segmento se puede hallar construyendo un triángulo rectángulo y utilizando la relación trigonométrica senα=CR/OC. Entonces el área del triángulo ABC es igual 1/2×a×OC×senα.

Sabemos que el área del triángulo ABD es igual a un medio de la base (b) por la altura, que es el segmento DQ, este segmento se puede hallar construyendo un triángulo rectángulo y utilizando la relación trigonométrica senα=DQ/OD. Entonces el área del triángulo ABD es igual 1/2×a×OD×senα. Entonces si sumamos estas áreas podemos hallar el área del cuadrilátero ABCD y que se representa como (Ac), matemáticamente:Ac = 1/2×a×OC×senα+ 1/2×a×OD×senα =1/2×a×senα(OC+OD). Como vemos el segmento OC más el segmento OD es igual al segmento CD (b) que es una de las diagonales del cuadrilátero. Entonces se demuestra que el área es igual al producto medio de las diagonales por el seno del ángulo: Ac = 1/2×a×b×senα, que era la deducción a la cual queríamos llegar.