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Variación de parámetros parte 1

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Método solución de ecuaciones de diferenciales lineales no homogéneas de orden superior con coeficientes constantes.

El método de variación de parámetros se hace muy útil para resolver ecuaciones diferenciales donde la función de salida no es una función polinómica, exponencial, suma de senos y cosenos o el producto o suma de estas (aunque es igualmente válido para el caso en que la función de salida sea una de las funciones antes citadas)

Este método permite resolver cualquier ecuación diferencial lineal no homogénea siempre y cuando las integrales que se generan puedan resolverse.
En este video se muestran las fórmulas propias del método, que involucra el concepto de wronskiano, para ecuación de segundo orden. Las fórmulas se hacen extensivas para ecuaciones de orden superior.

En este video veremos una técnica para resolver ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas con coeficientes constantes conocida como variación de parámetros. Cuando teníamos una ecuación diferencial de la siguiente forma: y’’+p(x)y’+q(x)y= g(x), se presentaba un problema con los métodos anteriores ya que la función de salida g(x) tenía que ser un exponencial o una suma de senos y cosenos o una función polinómica o la multiplicación entre todos los casos anteriores, es decir los métodos anteriores restringían la función de salida, lo que no pasa con la técnica de variación de parámetros, ya que esta técnica no restringe la función de salida g(x) y nos da la solución general para este tipo de ecuaciones .

En los videos anteriores veíamos que si teníamos una ecuación diferencial con la forma: y’’+p(x)y’+q(x)y= g(x), además con P(x) y q(x) constantes, podíamos hallar la solución homogénea de esta ecuación y que estaba expresada como YH=C1e^(m1x)+C2e^(m2x) donde las e eran dos pequeñas funciones que nombrábamos y1 y y2, la técnica de variación de parámetros parte de este hecho y nos dice que la forma que posee la solución particular de la ecuación es la siguiente: YP= U1(x)y1+U2(x)y2, entonces lo que tenemos que hacer es encontrar los valores de las funciones U1(x) y U2(x).

Para encontrar las funciones U(x) utilizamos las siguientes ecuaciones dadas por la técnica: U1(x)=∫W1/w y U2(x) =∫W2/w, donde w es el Wronskiano de y1 y y2, es decir w(y1,y2) que es igual al determinante de una matriz formada por las funciones y1 y y2 y sus derivadas y1’ y y2’, W1 y W2 son los Wronskianos respectivos, con la diferencia de que en W1 se cambia la columna de la función y1 y de la derivada y1’ por un cero y la función g(x) respectivamente y en el W2 se cambia la columna de la función y2 y de la derivada y2’ por cero y g(x) respectivamente. Una vez hallados los Wronskianos podemos entonces determinar la solución particular de la ecuación diferencial.
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Comentario


# Comentarios
Avatar Sarai Agurcia dice:
Friday, June 27, 2014
Buenas tardes.

Queria preguntar que sucede cuando en la homogenea al factorizar solo hay una solución como por ejemplo:
m^2+2m+1 = (m+1)^2
¿Cómo quedaría la homogenea? ¿Solo C1 e^-1 ?
Avatar Roberto Cuartas dice:
Friday, June 27, 2014
Tienes el caso de raíces repetidas que ya hemos mostrado en el curso. Y=c1 e^-x + c2 xe^-x
Avatar iori_yagami_13@hotmail.com dice:
Sunday, June 15, 2014
Buen día
Me pregunto si tiene algún vídeo donde explique como resolver ese tipo de integrales?
Pues en mi universidad me piden ocupar mucho este me todo y la verdad se me dificulta un poco
gracias y saludos
Avatar Roberto Cuartas dice:
Monday, June 16, 2014
Tenemos un curso completo de cálculo integral ;)
Avatar ignacio bobadilla dice:
Wednesday, May 07, 2014
Estimado junto con saludar, queria consultar de que de los 3 metodos: superposicion, aniquilador y variacion de parametros, cual es el mas facil y rapido para usar ??. Saludos.
Avatar Roberto Cuartas dice:
Thursday, May 08, 2014
Depende del problema. El más general es el de variación de parámetros
Avatar Hugo Panqueva dice:
Saturday, April 26, 2014
Hola buenas noches.

y para cuando tenemos al otro lado de la ecuación una función diferente a los sen o cos, por ejemplo cscx?o tg x, encuentro al igualdad del la tangente con respcto a los senos y cosenos?
Avatar Hugo Panqueva dice:
Saturday, April 26, 2014

de esta forma:
Y" + 7 Y' + 12 y = tan(x)
Avatar Hugo Panqueva dice:
Saturday, April 26, 2014
O de esta forma:
y"+ y = csc (x)
Avatar Hugo Panqueva dice:
Monday, April 28, 2014
esto era para solucionar por el método anulador, ofrezco disculpas
Avatar Roberto Cuartas dice:
Monday, April 28, 2014
Cuando tienes este tipo de funciones debes usar otro método como variación de parámetros.
El método del anulador se usa para los casos vistos en el mismo ;)
Avatar Hugo Panqueva dice:
Tuesday, April 29, 2014
mmm ya , vale muchas gracias por la ayuda.
Aprovecho para darles las gracias, me han servido mucho de ayuda en mi carrera universitaria, un abrazo para todos los que hacen que esto sea posible. ;)
Avatar Antonio Jbb dice:
Thursday, March 20, 2014
Hola Roberto tengo resuelto un problema de variacion de parametros que no logro comprender podrias ayudarme con la explicacion muchas gracias
1. Calcule b+2a+f(0)+g(0)+3h(1) ; sabiendo que para determinar una solución particular de la EDOL y''+ay'+by=h(x) , por el método de variación de parámetros, se plantea el sistema:

u'1 e^6x + u'2 x e^6x = 0
u'1 f(x) + u'2 g(x) = h(x)
. Además se conoce que
u'1 = (-x^2 cos^3(lnx))/e^6x

tengo como respuesta 22
Saludos
Avatar Roberto Cuartas dice:
Thursday, March 20, 2014
Solo creamos contenido en video para que puedas estudiarlo.
Esperamos que con el material que se tiene en el curso puedas aprender a resolver tu mismo este tipo de problemas ;)
Avatar Rogelio Rodriguez dice:
Friday, November 15, 2013
Buenas.
Tengo una duda y es la siguiente. Cómo se podría resolver una ecuación diferencial de segundo orden no homogénea con coeficientes no constantes.

Gracias. Te haces entender muy bien en los vídeos, felicitaciones
Avatar Roberto Cuartas dice:
Friday, November 15, 2013
Utilizando series de potencias es una opción si los coeficientes no son constantes ;)
Avatar Rogelio Rodriguez dice:
Friday, November 15, 2013
Gracias
Avatar Julián Muñoz dice:
Friday, November 08, 2013
Hay necesidad de hacer el wronskiano para w1 y w2 ... ?
Puedo aplicar simplemente que U1 = int -y2 g(x) / w y que U2 = int y1 g(x) / w....

Gracias.. exelentes videos eres muy claro y conciso te felicito por tu trabajo.
Avatar Roberto Cuartas dice:
Friday, November 08, 2013
Correcto. Es equivalente.
Avatar Juan David Castellanos Rodriguez dice:
Friday, August 30, 2013
Si me sale el g(x) con cosh o un senh no puedo usar coeficientes indeterminados-método de superposicion pasando las funciones a la forma que usa el ''euler'' ''e'' o por la fracción que aparece no lo puedo usar...
Muchas Gracias.
Avatar Roberto Cuartas dice:
Friday, August 30, 2013
Correcto. Escribe a senh o cosh en términos de ¨e¨
Avatar Juan David Castellanos Rodriguez dice:
Friday, August 30, 2013
Gracias profe por su pronta respuesta pero aún me queda la duda. Profe, por ejemplo en e^x + e^-x al estar dividido sobre 2 en el cosh no me impide usar el método¿? (Al ser una fracción). Es usted muy amable, gracias por el material.
Avatar Roberto Cuartas dice:
Monday, September 02, 2013
No para nada. Tienes (1/2)e^x + (1/2)e^-x. Tienes constantes que multiplican a e^x y a e^-x
Avatar Violeta Casino dice:
Saturday, June 08, 2013
Gracias desde España!
Avatar Roberto Cuartas dice:
Monday, June 10, 2013
Un saludo desde Colombia
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