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Variación de parámetros parte 1

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Método solución de ecuaciones de diferenciales lineales no homogéneas de orden superior con coeficientes constantes.

El método de variación de parámetros se hace muy útil para resolver ecuaciones diferenciales donde la función de salida no es una función polinómica, exponencial, suma de senos y cosenos o el producto o suma de estas (aunque es igualmente válido para el caso en que la función de salida sea una de las funciones antes citadas)

Este método permite resolver cualquier ecuación diferencial lineal no homogénea siempre y cuando las integrales que se generan puedan resolverse.
En este video se muestran las fórmulas propias del método, que involucra el concepto de wronskiano, para ecuación de segundo orden. Las fórmulas se hacen extensivas para ecuaciones de orden superior.

En este video veremos una técnica para resolver ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas con coeficientes constantes conocida como variación de parámetros. Cuando teníamos una ecuación diferencial de la siguiente forma: y’’+p(x)y’+q(x)y= g(x), se presentaba un problema con los métodos anteriores ya que la función de salida g(x) tenía que ser un exponencial o una suma de senos y cosenos o una función polinómica o la multiplicación entre todos los casos anteriores, es decir los métodos anteriores restringían la función de salida, lo que no pasa con la técnica de variación de parámetros, ya que esta técnica no restringe la función de salida g(x) y nos da la solución general para este tipo de ecuaciones .

En los videos anteriores veíamos que si teníamos una ecuación diferencial con la forma: y’’+p(x)y’+q(x)y= g(x), además con P(x) y q(x) constantes, podíamos hallar la solución homogénea de esta ecuación y que estaba expresada como YH=C1e^(m1x)+C2e^(m2x) donde las e eran dos pequeñas funciones que nombrábamos y1 y y2, la técnica de variación de parámetros parte de este hecho y nos dice que la forma que posee la solución particular de la ecuación es la siguiente: YP= U1(x)y1+U2(x)y2, entonces lo que tenemos que hacer es encontrar los valores de las funciones U1(x) y U2(x).

Para encontrar las funciones U(x) utilizamos las siguientes ecuaciones dadas por la técnica: U1(x)=∫W1/w y U2(x) =∫W2/w, donde w es el Wronskiano de y1 y y2, es decir w(y1,y2) que es igual al determinante de una matriz formada por las funciones y1 y y2 y sus derivadas y1’ y y2’, W1 y W2 son los Wronskianos respectivos, con la diferencia de que en W1 se cambia la columna de la función y1 y de la derivada y1’ por un cero y la función g(x) respectivamente y en el W2 se cambia la columna de la función y2 y de la derivada y2’ por cero y g(x) respectivamente. Una vez hallados los Wronskianos podemos entonces determinar la solución particular de la ecuación diferencial.
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Comentario


Avatar pedro Bernal dice:
Saturday, December 13, 2014
y´´+y´=3
como puedo resolver esta ecuacion
Avatar klever mendez dice:
Friday, December 19, 2014
D^2+D^1=3 SIGNIFICA LA DEIVACION
2D+1=0 DERIVANDO

2e^1=0
Avatar Carlos Alberto Cuesta Murillo dice:
Thursday, December 18, 2014
Pues debes sacar el factor común así : Y'(Y'+1) = 3 de donde Y' = 3/(Y'+1)
Avatar Anthony Henriquez dice:
Tuesday, December 16, 2014
0+1=3
0=3-1
0=2
2
Avatar José Luis Juarez dice:
Tuesday, December 16, 2014
encontrar las soluciones de la ecuación homogénea, que son y1 = 1 y y2 = exp(-1).
Calcular los factores u1' y u2' de la solución propuesta yp = u1 y1 + u2 y2. Que se obtienen de resolver el sistema de ecuaciones por el método de Cramer.

u1' = 3 exp(-x) / exp(-x) = 3 y u2' = 3/exp(-x) = 3 exp(x)

se integran u1 = 3x y u2 = 3 exp(x)

se sustituye en la solución propuesta yp = (3x) (1 ) + ((3exp(x))(expr(-x)) = 3x + 3

Avatar Maggy Campos dice:
Monday, December 15, 2014
Buenas tardes Pedro, tenemos una ED que podemos ponerla de esta forma Y= Yh+Yp,
para hallar a Yh
reescribimos y'' + y'=3 a
m^2 + m =0
m(m+1) = 0
obtenemos dos raíces las cuales son m1 = 0 y m2 = -1
entonces como son raíces reales distintas podemos escribir la sol Yh de la siguiente manera
Yh= C1e^0 + C2e^-x
Yh= C1 + C2e^-x.

Ahora para calcular Yp, nota que tenemos una g(x) = 3 para cuando nuestra g(X) es un numero nuestra Yp toma esta forma Ax + B
Yp = Ax + B
Yp' = A
Yp'' = 0
Sustituye en y'' + y' = 3 para obtener el valor de A, ya sabemos que B=0
0 + A = 3
A=3
vuelves a sutituir pero en y= Ax + B y tenemos la sol de Yp
Yp= 3x + 0
para finalizar

Y= C1 + C2e^-x +3x
Avatar Maggy Campos dice:
Monday, December 15, 2014
Buenas tardes Pedro, tenemos una ED que podemos ponerla de esta forma Y= Yh+Yp,
para hallar a Yh
reescribimos y'' + y'=3 a
m^2 + m =0
m(m+1) = 0
obtenemos dos raíces las cuales son m1 = 0 y m2 = -1
entonces como son raíces reales distintas podemos escribir la sol Yh de la siguiente manera
Yh= C1e^0 + C2e^-x
Yh= C1 + C2e^-x.

Ahora para calcular Yp, nota que tenemos una g(x) = 3 para cuando nuestra g(X) es un numero nuestra Yp toma esta forma Ax + B
Yp = Ax + B
Yp' = A
Yp'' = 0
Sustituye en y'' + y' = 3 para obtener el valor de A, ya sabemos que B=0
0 + A = 3
A=3
vuelves a sutituir pero en y= Ax + B y tenemos la sol de Yp
Yp= 3x + 0
para finalizar

Y= C1 + C2e^-x +3x
Avatar Blanca Basualdo dice:
Monday, December 15, 2014
estas seguro que tipeaste bien la ecuación? podría ser utilizando la ecuación caracteristica pero no tengo la variable ni la función.
Avatar Laura Vanegas dice:
Monday, December 15, 2014
Por medio de la sustitución de ecuaciones reducibles a primer orden, donde:
y'' = u*du/dy
y' = u

Entonces, la ecuación diferencial con la sustitución correspondiente sería:
u*du/dy + u = 3

Resolviendo dicha ecuación:
u*du/dy = 3 - u
du/dy = 3/u -1
((u/3)-1)*du = dy

Integrando a ambos lados:
1/6*u^2 - u = y

Sustituyendo u por y'
1/6*(y')^2 - y' = y

Resolver ecuación diferencial en términos de y' = dy/dx
Avatar memo_mike_13@hotmail.com dice:
Monday, December 15, 2014
Si se puede resolver, busca uno de los métodos sencillos para resolver ecuaciónes diferenciales de 1er grado
Avatar Manuel Yanez dice:
Monday, December 15, 2014
Reescribiendo la ecuación: y´´ + y´ - 3=0. La ecuación caracteristica es m^2 + m - 3=0 resolviendo esta ecuación cuadrática obtenemos las racíces m1 = -1+(13)^1/2 y m2 = -1-(13)^1/2. Luego, la solución es y = C1e^(-1+(13)^1/2)x+ C2e^(-1-(13)^1/2)x
Avatar Francisco Xavier Gil Salgado dice:
Monday, December 15, 2014
Disculpa, hice mal la integracion, el procedimiento es correcto, pero los números estan mal, seria de la sig forma:

y'' + y' = 3

p' + p = 3

al multiplucar por el factor de integraccion

d(pe^x) = 3e^x dx

integras y despejas p:

p = 3 + c

y' = 3 + c

y = 3x + cx + k
Avatar Francisco Xavier Gil Salgado dice:
Monday, December 15, 2014
Haz el siguiente cambio de variable, p=y' p'=y''

p' + p = 3

se vuelve una lineal, buscas el factor de integración e integras, obtienes lo sig.:

p=3xe^-x + c

sustituimos p

y'=3xe^-1 + c

integras y listo.

Saludos
Avatar katheryne sherley nieto mancilla dice:
Monday, December 15, 2014
s^2y(s)-sy(0)-y'(0)+sy(0)-y(0)=3
s^2y(s)-0-0+0-0=3
(y(s))(s^2)=3
y(s)=3/s^2
si los parametros son
y(0)=0
y'(0)=0
y''(0)=0
Avatar Luz Esther Medina Ogando dice:
Monday, December 15, 2014
lo primero que hay que hacer es buscar la ecuación auxiliar que seria m2+m=0, después resolver las raíces, con esto se obtendría a Yc, después abría que buscar a Yp, resolviendo las incógnitas y sustituyendo en la ecuación se diría que y=yc+yp
Avatar Juan Manuel Fabregat Moreno dice:
Monday, December 15, 2014
haz y=3*e^t,
Avatar Toni Miras dice:
Monday, December 15, 2014
dy'/dt+y'=3
dy'=(3-y')dt
dy'/(3-y')=dt
dy'/(y'-3)=-dt
integrando:
ln(y'-3)=-t+C1
y'-3=e^(C1-t)
si A=e^C1
y'=3+Ae^(-t)
dy/dt=3+Ae^(-t)
dy=(3+Ae^(-t))dt
integrando:
y = 3t-Ae^(-t) + B
Avatar Cristina Diaz dice:
Monday, December 15, 2014
Por el método de coeficientes indeterminados.
Avatar Carlos López dice:
Monday, December 15, 2014
Y''+Y'-3=0.. esa es tu EDO homogenea asociada. Luego hallas tu ec.caracteristica que seria m^2+m-3=0.. hayas las raices.. y listo.
Avatar Aldo Tamariz dice:
Monday, December 15, 2014
https://www.youtube.com/watch?v=Oyqse7NZRjs

espero te ayude..
ATB
Avatar Aldo Tamariz dice:
Monday, December 15, 2014
https://www.youtube.com/watch?v=Oyqse7NZRjs

I hope this help you..
Avatar Martin Suss Gallegos dice:
Monday, December 15, 2014
puedes utilizar el método de lo aniquiladores y expresar la ecuación con operadores lineales
te quedaría así --> ecuacion* (D^2+D)y=3
resuelves primero la ecuación homogénea asociada: (D^2+D)y=0
y obtenemos una ecuación característica --> (m^2+m)=0<-->m(m+1)=0--> m=0 v m=-1
raíces reales y distintas entonces un solución homogénea seria:
Y(x)=C1+C2*e^-x

la solución particular se obtiene primero encontrado y luego aplicando un un aniquilador L para H(x)=3--- en este caso el aniquilador es D si lo aplicamos a la ecuación* D(D^2+D)y=0
y volvemos a buscar una solución para esta nueva homogénea de la misma forma que lo hicimos con la primera como homogénea que encontramos y se de hacerlo de forma correcta se debería llegar a la ecuación y(x)=C1 + C2*e^-x + C3x ( C1,C3, C3 cts arbitrarias)
si te das cuenta tenemos la misma solución de la homogénea mas otro sumando (C3x) y si recordamo que y(x)= Y(particular)+Y(homogenea)

tenemos que Y(particular)=C3x reemplazamos el C3 por otra letra que sea constante p.ej. A
Y(particular)= Ax y tenemo que determinar el valor de A por lo tanto A ctn a determinarahora derivamos nuestra sol particula tanta veces como nos indice la ecuacion * y reemplazamo en la misma
Y(particular)=Ax
Y'(particular)=A
Y''(particular)=O
0+A=3 --> A=3
Y LA SOLUCION GENERAL DE LA ECUACIÓN SERIA
Y(X)= C1 + C2*e^-x + 3x
Avatar martin condori dice:
Sunday, December 14, 2014
utiliza ecuaciones diferenciales lineales no homogenea de coeficientes constantes de segun orden
Avatar Eduardo Garcia Benites dice:
Sunday, December 14, 2014
wwww
Avatar Aleex Arevalo dice:
Sunday, December 14, 2014
Hola, resuelve la ecuación homogénea asociada que es
m^2+m=0, tus resultados deber ser, m=0 y m=-1, entonces y1=1 y y2=e^(-x) son un conjunto fundamental de soluciones, y tu solución complementaria es
Yc=C1+C2*e^(-x)
Para obtener tu solución particular, puedes usas variación de parámetros o coeficientes indeterminados, para variación de para metros
Yp=-Y1*integral((Y2*f(x))dx/(W(Y1,Y2)))+ Y2*integral((Y1*f(x))dx/W(Y1,Y2)
Identifica lo que se te pide, es necesario que tengas conocimiento de la definición de wronskiano, es simplemente el determinante de las soluciones y sus derivadas, en este caso el W(Y1,Y2)=-e^(-x)
Tu f(x)=3, siempre es a lo que esta igualada la ecuación diferencial.Sustituye y resuelve; te tiene que salir Yp=3*x-3. Recuerda que la solución general es
Y=Yc+Yp, entonces
Y=C1+C2*e^(-x)+3*x-3
Esa es tu solución, sólo te muestro la solución particular para el caso de ecuaciones de segundo orden, para orden superior, necesitas otro procedimiento, nada complejo, sólo te tomará más tiempo. Espero te sirva, saludos.
Avatar alejandro aguilar dice:
Sunday, December 14, 2014
y^2+y-3=0
y1= 1.30 , y2=-2.30
Y=(C1 e^(y1x)+C2 e^(y2x))
Entonces :
{Y=(C1 e^[1.30]x+C2 e^[-2.30]x)} sol. General
Avatar Tomás Sapag dice:
Sunday, December 14, 2014
Primero sacas la solución homogénea para ello haces los siguiente:
F(m)=m^2+m=0
m(m+1)=0
m=0 y m=-1
Por tanto Yh=C1e^(-x)+C2
Luego ocupando la fórmula de coeficientes indeterminados nos queda
Yp=Ax^2+Bx+c
Y'p=2Ax+B
Y''p=2A
Remplazando el la ecuación original:
2A+2Ax+B=3
Del sistema te queda que:
2Ax=0
2A+B=3
Por tanto A=0 y B=3, y como no hay Y C=0
Remplazando los valores de A,B y C en Yp=Ax^2+Bx+C nos queda:
Yp=3x
Luego la solución de la EDO Yt=Yh+Yp por lo que la solución es:
Yt=C1e^(-x)+C2+3x.

Avatar Luis Alberto Astroza Alvarez dice:
Sunday, December 14, 2014
Factor integrante
Avatar hernan gallardo dice:
Sunday, December 14, 2014
haciendo la sustitución u= y'
Avatar diroallu@hotmail.com dice:
Sunday, December 14, 2014
puedes resolverlo haciendo un reemplazo: y' = u , y'' = u' entonces nos queda: u' + u = 3 , aqui podemos aplicar despeje de variable: du/dx + u = 3 --> du/dx = 3 - u --> du/( 3 - u) = dx --> integramos en ambos miembros y nos quedaria: -ln(u - 3) = x + C, de ahi puedes despejar "u", lo integras y hallas "y" o sino puedes aplicar el metodo del factor integrante que tambien sale mucho más rapido, saludos
Avatar Monica Maritza Patino Martinez dice:
Sunday, December 14, 2014
Aplica la cuadratica . Como es de segundo orden te daran 2 respuestas posibles
Avatar nestor ferreira dice:
Sunday, December 14, 2014
y=A*e^-x+B+3x
Avatar frixon erazo dice:
Sunday, December 14, 2014
Yp(t)= 3t+3e^(-2t)
Avatar david felipe galvis dice:
Sunday, December 14, 2014
La solución mas correcta es hacerla por superposición realizando y(x)=yc +yp donde yc se hace por m al cuadrado + m prima =0 y Yp haciendo 3 como una costante y la solución seria la suma de las dos tener en cuenta q las soluciones cuando se repiten se tiene q multiplicar por x
Avatar Victor Hugo Bonilla Calderon dice:
Sunday, December 14, 2014
Y''+Y'=3
(D²+D)Y=3
Y1= 3/((D)(D+1)) = 3(c1+c2*exp(-x))
Y2= ax²+bx+c
Y'2=2ax+b
Y''2=2a
2ax+b+2a=3
a=0 , b=3 , solución es y2=3x
entonces y=y1+y2 = 3x +c1+c2*exp(-x)
Esa sería la solución...
Avatar Sergio Parra dice:
Sunday, December 14, 2014
Primero se debe plantear esa acuacion como una homogenea, es decir la igualamos a 0 para hallar el Yc. Sin embargo esta ecuacion no se resuelve por variacion de parametros, ya que esta igualado simplemente a una constante, por lo que para hallar el Yp solo es necesario ver las tablas en donde aparece la forma de reemplazo de Yp para una constante, en cuyo caso se asume que es una constante A, y luego simplemente la derivamos 2 veces y reemplazamos en la ecuacion original, de este modo obtenemos el Yp. Una vez conozcamos Yc y Yp lo unico que nos resta es escribir la forma general de la solucion es decir Y=Yc+Yp. Y eso es todo
Avatar Ariel Gutierrez dice:
Thursday, December 11, 2014
hola hay alguien q m pueda sacar de una duda? en este momento se los agradeceria
Avatar Sarai Agurcia dice:
Friday, June 27, 2014
Buenas tardes.

Queria preguntar que sucede cuando en la homogenea al factorizar solo hay una solución como por ejemplo:
m^2+2m+1 = (m+1)^2
¿Cómo quedaría la homogenea? ¿Solo C1 e^-1 ?
Avatar Roberto Cuartas dice:
Friday, June 27, 2014
Tienes el caso de raíces repetidas que ya hemos mostrado en el curso. Y=c1 e^-x + c2 xe^-x
Avatar iori_yagami_13@hotmail.com dice:
Sunday, June 15, 2014
Buen día
Me pregunto si tiene algún vídeo donde explique como resolver ese tipo de integrales?
Pues en mi universidad me piden ocupar mucho este me todo y la verdad se me dificulta un poco
gracias y saludos
Avatar Roberto Cuartas dice:
Monday, June 16, 2014
Tenemos un curso completo de cálculo integral ;)
Avatar ignacio bobadilla dice:
Wednesday, May 07, 2014
Estimado junto con saludar, queria consultar de que de los 3 metodos: superposicion, aniquilador y variacion de parametros, cual es el mas facil y rapido para usar ??. Saludos.
Avatar Roberto Cuartas dice:
Thursday, May 08, 2014
Depende del problema. El más general es el de variación de parámetros
Avatar Hugo Panqueva dice:
Saturday, April 26, 2014
Hola buenas noches.

y para cuando tenemos al otro lado de la ecuación una función diferente a los sen o cos, por ejemplo cscx?o tg x, encuentro al igualdad del la tangente con respcto a los senos y cosenos?
Avatar Hugo Panqueva dice:
Saturday, April 26, 2014

de esta forma:
Y" + 7 Y' + 12 y = tan(x)
Avatar Hugo Panqueva dice:
Saturday, April 26, 2014
O de esta forma:
y"+ y = csc (x)
Avatar Hugo Panqueva dice:
Monday, April 28, 2014
esto era para solucionar por el método anulador, ofrezco disculpas
Avatar Roberto Cuartas dice:
Monday, April 28, 2014
Cuando tienes este tipo de funciones debes usar otro método como variación de parámetros.
El método del anulador se usa para los casos vistos en el mismo ;)
Avatar Hugo Panqueva dice:
Tuesday, April 29, 2014
mmm ya , vale muchas gracias por la ayuda.
Aprovecho para darles las gracias, me han servido mucho de ayuda en mi carrera universitaria, un abrazo para todos los que hacen que esto sea posible. ;)
Avatar Antonio Jbb dice:
Thursday, March 20, 2014
Hola Roberto tengo resuelto un problema de variacion de parametros que no logro comprender podrias ayudarme con la explicacion muchas gracias
1. Calcule b+2a+f(0)+g(0)+3h(1) ; sabiendo que para determinar una solución particular de la EDOL y''+ay'+by=h(x) , por el método de variación de parámetros, se plantea el sistema:

u'1 e^6x + u'2 x e^6x = 0
u'1 f(x) + u'2 g(x) = h(x)
. Además se conoce que
u'1 = (-x^2 cos^3(lnx))/e^6x

tengo como respuesta 22
Saludos
Avatar Roberto Cuartas dice:
Thursday, March 20, 2014
Solo creamos contenido en video para que puedas estudiarlo.
Esperamos que con el material que se tiene en el curso puedas aprender a resolver tu mismo este tipo de problemas ;)
Avatar Rogelio Rodriguez dice:
Friday, November 15, 2013
Buenas.
Tengo una duda y es la siguiente. Cómo se podría resolver una ecuación diferencial de segundo orden no homogénea con coeficientes no constantes.

Gracias. Te haces entender muy bien en los vídeos, felicitaciones
Avatar Roberto Cuartas dice:
Friday, November 15, 2013
Utilizando series de potencias es una opción si los coeficientes no son constantes ;)
Avatar Rogelio Rodriguez dice:
Friday, November 15, 2013
Gracias
Avatar Julián Muñoz dice:
Friday, November 08, 2013
Hay necesidad de hacer el wronskiano para w1 y w2 ... ?
Puedo aplicar simplemente que U1 = int -y2 g(x) / w y que U2 = int y1 g(x) / w....

Gracias.. exelentes videos eres muy claro y conciso te felicito por tu trabajo.
Avatar Roberto Cuartas dice:
Friday, November 08, 2013
Correcto. Es equivalente.
Avatar Juan David Castellanos Rodriguez dice:
Friday, August 30, 2013
Si me sale el g(x) con cosh o un senh no puedo usar coeficientes indeterminados-método de superposicion pasando las funciones a la forma que usa el ''euler'' ''e'' o por la fracción que aparece no lo puedo usar...
Muchas Gracias.
Avatar Roberto Cuartas dice:
Friday, August 30, 2013
Correcto. Escribe a senh o cosh en términos de ¨e¨
Avatar Juan David Castellanos Rodriguez dice:
Friday, August 30, 2013
Gracias profe por su pronta respuesta pero aún me queda la duda. Profe, por ejemplo en e^x + e^-x al estar dividido sobre 2 en el cosh no me impide usar el método¿? (Al ser una fracción). Es usted muy amable, gracias por el material.
Avatar Roberto Cuartas dice:
Monday, September 02, 2013
No para nada. Tienes (1/2)e^x + (1/2)e^-x. Tienes constantes que multiplican a e^x y a e^-x
Avatar Violeta Casino dice:
Saturday, June 08, 2013
Gracias desde España!
Avatar Roberto Cuartas dice:
Monday, June 10, 2013
Un saludo desde Colombia
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