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Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior (el problema del valor inicial)

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Curso
Introducción al concepto del problema de valor inicial para ecuaciones diferenciales lineales de orden superior.

Se dan las tres condiciones para que un problema de valor inicial tenga solución única en un punto x. Se muestran dos ejemplos donde se aclara en caso la solución es única y cuando existen infinitas soluciones dada la discontinuidad de la función que multiplica a la derivada de orden superior

En este video veremos las ecuaciones diferenciales de orden superior lineales, además de dos conceptos fundamentales como lo son los problemas de valor inicial y los problemas de valor de frontera. Una ecuación diferencial lineal de orden superior tiene la siguiente forma general: an(x)(y´N)+an-1(x)(y’N-1)+…a1(x)(y’)+a0(x)(y)= g(x), vemos que esta ecuación se llama de orden superior ya que encontramos derivadas más allá de la primera derivada. En este tipo de ecuación el orden lo define el grado de la derivada, en este caso diremos que el orden de la ecuación es N, ya que este es el mayor grado de la derivada. Lo que nos interesa estudiar de este tipo de ecuación es la manera de solucionarla, cuando teníamos una ecuación diferencial lineal de primer orden veíamos que su solución consistía en una solución monoparamétrica donde surgía una constante C que se podía encontrar usando las condiciones iniciales dadas por el problema, es decir que la función en un punto cualquiera adquiría un valor y(x0)=y0, para este nuevo tipo de ecuación vamos a tener varias condiciones para encontrar las posibles constantes que surgirán al solucionar dicha ecuación.

En estos problemas tendremos dos tipos de condiciones, una de las condiciones la llamaremos problema de valor inicial y la otra la llamaremos problema de condiciones de frontera. El problema de valor inicial es resolver la ecuación diferencial que definimos al comienzo sujeta a la condición: y(x0)=y0, luego y’(x0)=y1,y’’(x0)=y2,,,y así sucesivamente hasta llegar al grado N, lo que tienen en común la función y todas sus derivadas es que las diferentes derivadas son halladas en el mismo punto x0. Este tipo de ecuación puede tener una única solución o no, para que haya una única solución se debe cumplir con ciertas condiciones que se explicaran detalladamente en el video, además se muestran dos ejemplos donde se aclara en caso la solución es única y cuando existen infinitas soluciones dada la discontinuidad de la función que multiplica a la derivada de orden superior.
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Comentario


Avatar daniela mellado dice:
Wednesday, July 1, 2015
Estimados,

Junto con saludarlos, quisiera si pueden ayudar con la siguiente ecuación diferencial
x=ln(y') + sen (y').

ya que al tener la x adelante no se como plantearlo, solo la sé hacer con la y.

Saludos y muchas gracias.
Avatar Paulina Ellen Rodriguez Perez dice:
Friday, July 3, 2015
ecuacion diferencial? o esa es tu solucion de la ecuacion diferencial?
Avatar Gisela Falcon dice:
Thursday, December 18, 2014
tengo un problema de valor inicial y`= (x+y)^1/2 Y(2) = 2

AYUDAAAAAAAA
Avatar Joe Condezo Bustinza dice:
Thursday, January 1, 2015
jajaja chiste pero no entiendo ,tomale foto y lo ago
Avatar Marcelo Serrano Vigo dice:
Monday, December 29, 2014
La resolución de este problema te llevará a la obtención de uno o varios productos lógicos, lo que no se es si tienes la preparación para la solucionar este tipo de problemas, el proceso de resolución es un poco extenso y me gustaría que con los conocimientos que posees lo pudieses solucionar tu, la solución al ejercicio es la siguiente : y=1-x+(2·producto log·(e^(2-x/2) ))+(producto log·(e^(2-x/2) )^2)
espero te sea de ayuda
un saludo
Avatar Martin Suss Gallegos dice:
Tuesday, December 23, 2014
reconocer que la ecuación es del tipo trasformable a variable separable si decimos que z= x+y entonces dz/dx= 1+dy/dx ahora despejamos el dy/dx y no queda que dy/dx =1-dz/dx

sustutuyendo en la ecuacion obtenenmos:
1-dz/dx=z^(1/2)<----> dz/dx= 1-z^1/2
esta ecuacion es de variable separable y se resuelve como tal
dz/(1-z^1/2)=dx
integrando se obtiene:

-2(z^1/2 ln( z^1/2 -1))=x +c con c cte arbitraria

ahora tienes que regresar a la variable original despejar la variable y, luego de eso evaluar e igualar a 2 segun el pvi {y(2)=2} para despejar la constante eso y se acaba
Avatar Raul Castillo dice:
Saturday, December 20, 2014
Esa no es una ecuación diferencial lineal de orden superior. De modo que el video no se corresponde con el caso, luego doy una respuesta mas precisa
Avatar reymond rey dice:
Saturday, December 20, 2014
EN INTERNET EXISTE UN PROGRAMA LLAMADO DERIVE 6 LO INSTALAS HE INGRESAS LOS DATOS DE TU ECUACIÓN Y EL PROGRAMA RESUELVE DICIÉNDOTE PASO A PASO COMO SE REALIZO.
Avatar Hector Kristof dice:
Friday, December 19, 2014
si mal no interpreto, seria (escrita de otra manera) (y´)^2=x+y la cual es una EDO NO lineal.
pero si la escribes como dy=[(x+y)^1/2]dx podría ser reducible a exactas (ya que exacta no es) pero veras que tampoco sirve. Los metodos de resolucion que se ven en la facu (pro lo menos en ingenieria) son solo para EDOs Lineales, es decir la funcion incognita "y" y todas sus derivadas elevadas a la 1. No funcionan estos metodos para EDOs no lineales. (por ejemplo Bernoulli transforma una edo no lineal a lineal con una sustitucion...)
Avatar Nolan Jara Jara dice:
Friday, December 19, 2014
x+y=z-->y'=z'-1-->z'-1=z^(1/2)-->z'=z^(1/2)+1,z=t^2-->2tdt=(t+1)dx-->2(t-ln(t+1))=x+c;c=2-2ln3
2((x+y)^(1/2)-ln((x+y)^(1/2)+1))=x+2-2ln3
Avatar Javier Rondon dice:
Friday, December 19, 2014
Hola,

y' = dy/dx

entonces la ecuacion queda como: dy/dx = (x+y) 1/2 Y(2) = 2
luego
dy (x+y) 1/2 Y(2) = 0

De aqui en adelante resuelves la ecuación.
Espero te pueda servir.
Avatar Daniel Jauregui dice:
Friday, December 19, 2014
cuando y(2)=2 sustituimos en la ecuación , donde va x, un 2. Y en vez de igualar a Y, igualas a 2
quedaria de la siguiente manera. 2=(2+y)^1/2. y resuelves la ecuación. como es lineal se resuelve directa.
Avatar francisco hernandez dice:
Friday, December 19, 2014
agregame a face para resolver tus dudas att.ing hernandez
Avatar alex ortiz dice:
Friday, December 19, 2014
Yo la resolvería de la siguiente manera:
Quiero decirte que como aprendiste a sumar y restar aprendes a diferenciar e integral, lo importante es donde y cuando aplicarse una ecuación diferencial, es la visión que hace la diferencia entre uno bueno y uno muy bueno, he visto casos de alumnos que no pueden resolverlas, pero sí pueden o saben plantearlas y donde aplicarlas en un planteamiento matemático, por elegancia el matemático debe dominar ambas.Aquí ,sustituí dos veces pero pude haber echo U²=x+y,sin embargo se puede llegar al mismo resultado por otras formas, yo lo hice así.


?'=(x+y)^1/2
dy/dx=(x+y)^1/2

Convertimos a:

u=x+y
du=dx+dy
dy=du-dx

sustituyendo y pasando dx al otro denominador.

du-dx= (U)^¹/2 dx
du=(U)^¹/2 dx +dx
du=((u)^1/2+1)dx
du/((u)^1/2+1)=dx

Observa que ya se puede integrar e integramos.
Pero volvemos nuevamente a sustituir valores:
z=(U)1/2+1
z-1=(U)1/2
(z-1)2=U
2(z-1)dz=du

Sustituimos y tenemos:
2(z-1)/z dz=dx

Integrando:
2z-2lnz=x+c

sutituyendo el valo de z y de u

2((U)1/2+1)-2ln ((U)1/2+1)= x+c
2(x+y)^1/2+2-2ln(x+y)^1/2+1=x+c
2(x+y)^1/2-2ln(x+y)^1/2+1=x+c-2
2(x+y)^1/2-2ln((x+y)^1/2+1)=x+c

Mete los valosres de x y y y pbtienes el valor de C y rescribes la ecuación con el valor de c obtenido.


Avatar Víctor Elías Anhuamán Córdova dice:
Friday, December 19, 2014
Sólo para darte la idea haz el cambio de variable z=x+y y obtendrás z'=1+y' reemplazas y te quedará una integral fácil.
Avatar Nicolay Moreno Herrera dice:
Thursday, December 18, 2014
X vale 2 y Y vale 2 entonces X+Y es igual a 4 y eso elevado a la 1/2 es es como tener la raíz cuadrada de cuatro por propiedades de potenciacion por lo tanto y' = 2
Avatar Juan Luis De La Fuente dice:
Thursday, December 18, 2014
es fácil, intregas a ambos miebros y te queda una constante "C" que la averiguas dandole el valor de Y(2) = 2 ..
si seguis sin entender lo hago en papel y subo la foto..
Avatar Christian Plaza dice:
Thursday, December 18, 2014
https://www.dropbox.com/s/c91szf2qz3ujm5e/20141218_165739.jpg?dl=0
Avatar Christian Plaza dice:
Thursday, December 18, 2014
Saludos Gisela! Te dejo un link con el procedimiento paso a paso. Espero que te ayude en algo. Saludos desde PR. Ciao
Avatar Andy Toribio dice:
Thursday, December 18, 2014
Solve ( dy(x))/( dx) = sqrt(y(x)+x), such that y(2) = 2:
Let v(x) = y(x)+x, which gives ( dv(x))/( dx) = ( dy(x))/( dx)+1:
( dv(x))/( dx)-1 = sqrt(v(x))
Solve for ( dv(x))/( dx):
( dv(x))/( dx) = sqrt(v(x))+1
Divide both sides by sqrt(v(x))+1:
(( dv(x))/( dx))/(sqrt(v(x))+1) = 1
Integrate both sides with respect to x:
integral (( dv(x))/( dx))/(sqrt(v(x))+1) dx = integral 1 dx
Evaluate the integrals:
-2 log(sqrt(v(x))+1)+2 sqrt(v(x)) = x+c_1, where c_1 is an arbitrary constant.
Solve for v(x):
v(x) = (W(-e^(1/2 (-x-c_1-2)))+1)^2
Simplify the arbitrary constants:
v(x) = (W(-e^(1/2 (-x+c_1)))+1)^2
Substitute back for y(x) = v(x)-x:
y(x) = -x+(W(-e^(1/2 (-x+c_1)))+1)^2
Solve for c_1 using the initial conditions:
Substitute y(2) = 2 into y(x) = (W(-e^(1/2 (c_1-x)))+1)^2-x:
(W(-e^(1/2 (c_1-2)))+1)^2-2 = 2
Solve the equation:
c_1 = 4+(2 i) pi
Substitute c_1 = 4+2 i pi into y(x) = (W(-e^(1/2 (c_1-x)))+1)^2-x:
Answer: |
| y(x) = -x+(W(e^(-x/2+2))+1)^2
Avatar Carlos López dice:
Thursday, December 18, 2014
Asumiendo que en esa función 'x' es la var independiente & 'y' la var dependiente, hacemos lo siguiente:
1) y' = dy/dx
2) dy/dx = sqrt(x+y)
3) dy = sqrt(x+y)*dx EDO variables separadas
4) INTY(dy) = INTX(sqrt(x+y)*dx)
5) y + Cy = (2/3)*(x+y)^(3/2) + Cx ... esa es la solución general de la EDO de manera implícita... sabiendo que Cx - Cy = C (constante, menos otra constante es otra constante) podemos escribirlo como:
6) y = (2/3)*(x+y)^(3/2) + C ... solución general de la EDO de manera explícita. Ahora, hayamos el valor de C aplicando las condiciones iniciales y(2) = 2
7) 2 = (2/3)*(2+2)^(3/2) + C ... despejando C de la ecuación, tenemos: C = -3.33333...
8) y = (2/3)*(x+y)^(3/2) - 3.3333 ... y esa es nuestra solución particular de la EDO.

Espero esto haya sido de ayuda, intenté ser lo más didáctico e ilustrativo que pude ser por acá. Si quieres más ayuda con cálculo contáctame por twitter @carlosution o por correo: carloslopez0194@gmail.com. Éxito! Saludos.
Avatar Nelson Buitrago dice:
Thursday, December 18, 2014
Hola. Sabes que lo que tienes escrito es igual a dy/dx= (x+y)^(1/2)... yo haria separación de variables, pero tengo que hacer que: u= x+y por consiguiente: du/dx = 1+dy/dx. Entonces, dy/ dx= du/dx -1... llevas las respectivas sustiticiones a la ecuacion original. Y ya tienes que resolver la nueva ecuacion diferencial usando separacion de variables!
Avatar Eder Yair Nolasco Terrón dice:
Thursday, December 18, 2014
ok, te explico como puedes identificar una condición inicial para este caso: nos mencionas que Y(2)=2, es facil, el valor que esta adentro del paréntesis es el valor que va a tomar la x, y lo que esta igualado es el valor de y, en este caso y(2) corresponde a x y lo igualado es decir =2 es el valor que va a tomar la y para encontrar el valor de la constante de integración. si necesitas algo mas estoy para servirte, saludos
Avatar Dayana Honorato dice:
Thursday, March 27, 2014
¿¿¿¿¿Y qué paso con las condiciones iniciales y(0)=4 y y'(0)=1 del primer ejemplo????
Avatar Roberto Cuartas dice:
Thursday, March 27, 2014
¿A qué te refieres con que sucedió? Tienes una duda en algún minuto y segundo específicamente?
Avatar MixMix Ayil dice:
Saturday, December 14, 2013
Suscrito con ganas de practicar jaja :D
Avatar Roberto Cuartas dice:
Saturday, December 14, 2013
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Avatar Pedro Sánchez dice:
Monday, December 9, 2013
hola, me inscribí en este curso simplemente necesitando conocer las ecuaciones diferenciales de segundo grado, te pido que me ayudes si este no es el curso correcto que debo tomar y que me es muy importante aprender ahora. Muchas Gracias.
Avatar Roberto Cuartas dice:
Monday, December 9, 2013
Este es el curso correcto ;)
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