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Ecuación lineal de primer orden (teoría método de solución)

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Explicación del método de solución de una ecuación diferencial lineal de primer orden mediante el uso de un factor integrante.

En este video se ilustran los conceptos que llevan a dicha a solución a partir de la solución de la ecuación de la forma y'+p(x)y=0 para consecuentemente mediante variación de parámetros llegar a una solución general para la ecuación y'+p(x)y=f(x)

El procedimiento finalmente se resume en encontrar el factor integrante; una nueva función que al multiplicarla con la ecuación diferencial llevará a esta última a una versión más simple que permite encontrar a "y" al integrar a ambos lados de la ecuación

Este video hace parte de una serie de videos acerca de ecuaciones diferenciales. Aquí se habla de un concepto que es el de ecuación lineal de primer orden. En nuestra primera serie de videos explicamos cuál era la forma de una ecuación lineal, en este se explica esa forma pero de primer orden. La ecuación presentada inicialmente se usa para ver el método general que existe para solucionar. El procedimiento inicia con reescribir la ecuación siempre de la forma y’(p(x)y=f(x), donde f(x) en este caso es igual a 0. Esta ecuación la podemos solucionar fácilmente utilizando separación de variables y luego integrando a ambos lados de la ecuación para encontrar “y”. El procediiento consiste en la variación de parámetros, es decir, que una solución es el múltiplo de la solución, y lo que tenemos que hacer para encontrar Yp es encontrar U, sustituyéndolo en la ecuación original y’+p(x)y=f(x). Finalmente si tenemos una ecuación de ese estilo, lo que debemos hacer en realidad es multiplicar a ambos lados por la ecuación diferencial para encontrar “y” al integrar a ambos lados.
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Comentario


Avatar david rodriguez dice:
Thursday, April 16, 2015
POR QUE EL VIDEO DE FACTOR INTEGRANTE ESTA DESPUES DE LOS VIDEOS DE ECUACION ES LINEALES?
Avatar Blanca Basualdo dice:
Monday, January 12, 2015
mira esto: https://www.youtube.com/watch?v=GDF0bOwo52U
Avatar Gonzalo Zambrano dice:
Thursday, January 8, 2015
Bueno te lo explicare de una manera creo que mas corta y mas atendible que la del vídeo, aunque el vídeo es muy bueno y explica muy detalladamente el porque de cada paso que se realiza, bueno según lo que veo asumiré que ya tienes un conocimiento previo a las ecuaciones lineales entonces, debes la saber que la forma de una ecuación diferencial lineal es y' + p(x)y = q(x) , esto no es tan complicado de interpretar , el primer miembro representa a dy/dx, y p(x) no es nada mas que cualquier expresión en función de x, como por ejemplo "2x", y a su vez multiplica a "y" lo cual identifica la linealidad de la función, y esa misma tiene que ser de grado 1 , es decir solamente "y" esa no puede ser y² ni de mayor grado ya que el en ese entonces se hablaría de una ecuación de Bernoulli , y el ultimo miembro el que esta al otro lado del igual esta solo es función de x, Claro que debes de asumir esto cuando la ecuación ya esta factorizada, caso contrario deberás factorarla para saber si cumple con la forma.

EXPLICACION DE LA RESOLUCION:
Para un mejor entendimiento te explicare la resolución con un ejercicio el cual seguirá una serie de pasos para llegar a la solución: (El ejercicio no sera de mucha complejidad para que se de un mejor entendimiento, pero los pasos a seguir son los mismos en todos los casos)

y' + y/x = x² ---> Notaras que ya esta de forma lineal, y la misma es lineal en "y" , entonces nuestro factor de integración sera en función de "x" , ¿Lo entiendes? no es nada mas y nada menos que lo controrio, si es lineal en -y- se trabajara en función de -x-

Habiamos quedado en que el segundo mienbro de la ecuacion sera el que determine la lienalida, y bueno es con ese valor con el que empezaremos a trabajar, y el valor del segundo miembro de la ecuacion corresponde a "y/x" , ahora, ya habiamos quedado en que se trabajara en funcion de -x- asi que solo tomaremos los valores que esten en funcion de -x- ya la -y- quedara para el final del ejercicio, y se procede a ahacer lo siguiente.

Los factores de integracion que se utilizan son:
?p(x) = (Valor en funcion de x) dx ---> Cuando es lineal en "Y"
?p(y) = (Valor en funcion de y) dy ---> Cuando es lineal en "X"

- Entonces ya sambemos cual tomaremos y continuamos con el ejercicio, primero para tener nuestro factor integrante trabajaremos con el segundo miembro (y/x), pero como hablabamos de que solo tomariamos en cuenta lo que este en funcion de x entonces solo tendriamos "1/x" y esto sera reemplazado en la formula correspondiente.
?p(x) = (Valor en funcion de x) dx
?p(x) = (1/x) dx
Integramos y tendremos:
?p(x) = lnx
Eliminamos logaritmos y tendremos:
(?p(x)) Lne = lnx
lne^(?p(x))= lnx
e^(?p(x))= x
F.I.=x

Donde e^(?p(x) representa el factor integrante, entonces podremos simplificarlo solo a F.I. = x
Como se lo hizo en el procedimiento,

Continuamos y para esto dejaremos a un lado el valor de y' , ya que no nos hara falta utilizarlo por los artificios que se están aplicando.

y entonces si nuestra ecuacion era : y' + y/x = x² , y quedamos en que la y' ya no sera considerada quedaremos solo con : y/x = x² , Ahora recordemos que tenemos un factor integrante, y ese factor integrante lo obtuvimos extrayendo el valor que esta en funcion de x en nuestro segundo miembro que es Y/X , entonces como dicha parte fue extraida para obtener nuestro factor integrante la ecuacion ya habia quedado solo de la siguiente forma: y = x² , y entonces procedmos a recordar, para estar cursando por este tema actualmente, con anterioridad debieron de haber visto las ecuaciones diferenciales no exactas, las cuales tambien utilizaban un factor de integracion para hacer que la ecuacion se volviera exacta y ese factor de integracion multiplicaba a toda la ecuacion, pues bueno, aqui se hara lo mismo, se multiplicara el factor de integracion por nuestra ecuacion sobrante que es : y=x² , de la siguiente forma:

Nuestro F.I. = x
[y = x²] . x
y tendremos:
xy = x³
y asumiremos un "dx" al otro lado del igual (Recuerden que todo lo que se asume en estos pasos es por lo que se debe la eliminacion de nuestro primer factor la y' , y a su vez es lo que detalla el video que se muestra, el porque de cada caso)

Entonces tenemos:
xy = x³ dx
y Procedemos a integrar la parte que contine el diferencial:
xy = ? x³ dx
Si recuerdan para el factor integrante no consideramos a la constante "c" , en este punto del ejercicio si se tomara en cuenta:
xy = ( x^4)/4 + c

Y por ultimo despejamos la "y" para tener nuestra solucion de "y" en funcion de "x"
y = x³ /4 + c/x

Y FIN, AHÍ YA TIENES LA SOLUCIÓN A TU EJERCICIO, SI YA HAS APRENDIDO LA RESOLUCION DE ESTOS EJERCICIOS POR CAMBIO DE VARIABLES, PUEDES VERIFICAR LAS RESPUESTAS Y NOTARAS QUE EL RESULTADO ES EL MISMO.
Avatar Enrique Belliard dice:
Tuesday, January 6, 2015
No entendí por qué se parte de que la solución debe tener la forma Y=Yc + Yp , ni tampoco por qué para encontrar a Yc hay que igualar a 0=dy/x + P(x).Y ¿Qué video tendría que ver para entender esto? Muchas gracias.
Avatar Juan De Los Santos Santos dice:
Monday, March 23, 2015
Hola puedo ayudarte.
Enviame el ejercicio si puede ser en imagen a: ciencia123@hotmail.com
Avatar Fede Sosmol dice:
Saturday, March 14, 2015
fdfds
Avatar Jorge Gambín López dice:
Tuesday, January 20, 2015
Hola, la solución general de la EDO cuando es Lineal se compone de una parte variable que depende de la variable independiente, es decir, Yc; y de otra componente que es una solucion particular de la EDO,Yp, que es constante. La componente Yc se calcula suponiendo que es una EDO homogénea(No tiene término independiente, es decir,igualamos a 0) para poder aplicar Separación de Variables y despejar la Yc.
Yp se calcula por el método de variación de las constantes.
Espero que te haya servido, Un saludo
Avatar Blanca Basualdo dice:
Monday, January 12, 2015
hola: las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden y primer grado, se inicia la solución partiendo de que la derivada de la función buscada más una expreción que involucre a la variable por la función sea igual a cero, es decir que la F(x) sea cero. luego se las resuelve considerando que ello no sea así y es allí cuando se ensaya el factor para que en un tercer paso se pase a considerar que la ecuacion sea la denominada ecuación de Bernoulli. Digo, 1) igualada a cero y resuelvo por separacion de variables. 2) diferente de cero y uso cambio de variable, 3) diferente de cero y multipicada por la función elevada a la potencia "n" (de Bernoulli) en donde se divide todo por y^n y se procede como en el caso dos. si resuelves el primer caso, veras que siempre la solución es una fucion exponencial que puede indicarse como suma de dos funciones.
Avatar Carmine Guarino dice:
Monday, January 12, 2015
Hay que igualarla a cero, para que sea una ecuación homogénea y así resolverla usando el operador "D" ( dy/dx )para transformarla en un polinomio y a través de Ruffini o segundo grado buscar las raíces y con esto la solución a través de una ecuación general donde solo se sustituye las raices. La función tiene que estar en función de derivadas e igualada a cero, no como la que indicas.
Avatar elizabeth ramos saira dice:
Sunday, January 11, 2015
bucas videos de ecuaciones diferenciales homogeneas con coeficientes constantes
Avatar luis vale dice:
Friday, January 9, 2015
recomiendo los videos del Prof Derek Owens
Avatar Laura Juliana Álvarez dice:
Friday, January 9, 2015
Porque es una ecuacion diferencial no homogenea, eso quiere decir que la ecuacion no esta igualada a cero y por lo tanto, hay un termino que no contiene a la variable y, entonces la solucion esta dada por una solucion complementaria y una particular, la complementaria la hallas igualando la ecuacion a cero, osea quitando el termino que no contiene a y, y la particular la hallas dependiendo de la forma que tenga eñ termino que no contiene a y, sea por variacion de parametros o por coeficientes indeterminados, esperp haberte ayudado:D
Avatar MARTHA L. HINESTROZA M. dice:
Friday, January 9, 2015
hay que partir de que una ecuacion diferencial tiene una solucion general y una solucion particular, ademas la suma de esta también es solución de la ecuaciónlo esplica que una solucion de la forma Y=Yc + Yp, donde Yc es una solucion general y para conseguirla solo nos espernible si la edo es homogénea.
Avatar luis alfonso lopez cano dice:
Thursday, January 8, 2015
por que el valor de la variable se halla derivando
Avatar Hector Kristof dice:
Thursday, January 8, 2015
Hola! cuando tienes la E D L de 1° orden dy/dx + p(x)y = q(x) en realidad tienes 2 problamas a resolver. comienzas con buscar el conjunto de soluciones que satisfacen a dy/dx + P(x) = 0. Este conjunto de funciones (en este caso y=f(x,y) por ser de 1° grado, si fuera de orden 2, 3, etc tendrias que buscar 2, 3 , etc soluciones que satisfagan la e.d.o.) debe tener ciertas caracteristicas. 1° las soluciones deben ser linealmente independientes, lo cual en este caso si o si lo son ya que encontras solo una,... cuando la encuentras esa solucion, se dice que la misma es una base generadora, del espacio nulo. con esta solucion mas una Yp consigues todas las demas soluciones posibles de acuerdo a cual sea tu q(x). el segundo paso es justamente conseguir la Yp que satisface a dy/dx + p(x)y = q(x). luego la solucion general, o completa es Yc + Yp. cualquier otro problema (en E.D.O.Lineales porsupuesto) si presenta la forma dy/dx + p(x)y = q(x) + g(x) + h(x) +... se pueden partir de la misma forma. 1° resuelves dy/dx + p(x)y = 0 y luego buscas las Yp de cada problema dy/dx + p(x)y = q(x), dy/dx + p(x)y = g(x), dy/dx + p(x)y = h(x) etc... es un metodo la separacion en partes, lo que si es siempre importante es que sepas diferenciar la solucion base de las particulares... Saludos!
Avatar Paúl Arévalo dice:
Thursday, January 8, 2015
Este curso te ayudará mucho espero te sirva, te adjunto el link, suerte!
http://aula.tareasplus.com/Roberto-Cuartas/ECUACIONES-DIFERENCIALES
Avatar Gonzalo Zambrano dice:
Thursday, January 8, 2015
ENRIQUE BILLARD

Bueno te lo explicare de una manera creo que mas corta y mas atendible que la del vídeo, aunque el vídeo es muy bueno y explica muy detalladamente el porque de cada paso que se realiza, bueno según lo que veo asumiré que ya tienes un conocimiento previo a las ecuaciones lineales entonces, debes la saber que la forma de una ecuación diferencial lineal es y' + p(x)y = q(x) , esto no es tan complicado de interpretar , el primer miembro representa a dy/dx, y p(x) no es nada mas que cualquier expresión en función de x, como por ejemplo "2x", y a su vez multiplica a "y" lo cual identifica la linealidad de la función, y esa misma tiene que ser de grado 1 , es decir solamente "y" esa no puede ser y² ni de mayor grado ya que el en ese entonces se hablaría de una ecuación de Bernoulli , y el ultimo miembro el que esta al otro lado del igual esta solo es función de x, Claro que debes de asumir esto cuando la ecuación ya esta factorizada, caso contrario deberás factorarla para saber si cumple con la forma.

EXPLICACION DE LA RESOLUCION:
Para un mejor entendimiento te explicare la resolución con un ejercicio el cual seguirá una serie de pasos para llegar a la solución: (El ejercicio no sera de mucha complejidad para que se de un mejor entendimiento, pero los pasos a seguir son los mismos en todos los casos)

y' + y/x = x² ---> Notaras que ya esta de forma lineal, y la misma es lineal en "y" , entonces nuestro factor de integración sera en función de "x" , ¿Lo entiendes? no es nada mas y nada menos que lo controrio, si es lineal en -y- se trabajara en función de -x-

Habiamos quedado en que el segundo mienbro de la ecuacion sera el que determine la lienalida, y bueno es con ese valor con el que empezaremos a trabajar, y el valor del segundo miembro de la ecuacion corresponde a "y/x" , ahora, ya habiamos quedado en que se trabajara en funcion de -x- asi que solo tomaremos los valores que esten en funcion de -x- ya la -y- quedara para el final del ejercicio, y se procede a ahacer lo siguiente.

Los factores de integracion que se utilizan son:
?p(x) = (Valor en funcion de x) dx ---> Cuando es lineal en "Y"
?p(y) = (Valor en funcion de y) dy ---> Cuando es lineal en "X"

- Entonces ya sambemos cual tomaremos y continuamos con el ejercicio, primero para tener nuestro factor integrante trabajaremos con el segundo miembro (y/x), pero como hablabamos de que solo tomariamos en cuenta lo que este en funcion de x entonces solo tendriamos "1/x" y esto sera reemplazado en la formula correspondiente.
?p(x) = (Valor en funcion de x) dx
?p(x) = (1/x) dx
Integramos y tendremos:
?p(x) = lnx
Eliminamos logaritmos y tendremos:
(?p(x)) Lne = lnx
lne^(?p(x))= lnx
e^(?p(x))= x
F.I.=x

Donde e^(?p(x) representa el factor integrante, entonces podremos simplificarlo solo a F.I. = x
Como se lo hizo en el procedimiento,

Continuamos y para esto dejaremos a un lado el valor de y' , ya que no nos hara falta utilizarlo por los artificios que se están aplicando.

y entonces si nuestra ecuacion era : y' + y/x = x² , y quedamos en que la y' ya no sera considerada quedaremos solo con : y/x = x² , Ahora recordemos que tenemos un factor integrante, y ese factor integrante lo obtuvimos extrayendo el valor que esta en funcion de x en nuestro segundo miembro que es Y/X , entonces como dicha parte fue extraida para obtener nuestro factor integrante la ecuacion ya habia quedado solo de la siguiente forma: y = x² , y entonces procedmos a recordar, para estar cursando por este tema actualmente, con anterioridad debieron de haber visto las ecuaciones diferenciales no exactas, las cuales tambien utilizaban un factor de integracion para hacer que la ecuacion se volviera exacta y ese factor de integracion multiplicaba a toda la ecuacion, pues bueno, aqui se hara lo mismo, se multiplicara el factor de integracion por nuestra ecuacion sobrante que es : y=x² , de la siguiente forma:

Nuestro F.I. = x
[y = x²] . x
y tendremos:
xy = x³
y asumiremos un "dx" al otro lado del igual (Recuerden que todo lo que se asume en estos pasos es por lo que se debe la eliminacion de nuestro primer factor la y' , y a su vez es lo que detalla el video que se muestra, el porque de cada caso)

Entonces tenemos:
xy = x³ dx
y Procedemos a integrar la parte que contine el diferencial:
xy = ? x³ dx
Si recuerdan para el factor integrante no consideramos a la constante "c" , en este punto del ejercicio si se tomara en cuenta:
xy = ( x^4)/4 + c

Y por ultimo despejamos la "y" para tener nuestra solucion de "y" en funcion de "x"
y = x³ /4 + c/x

Y FIN, AHÍ YA TIENES LA SOLUCIÓN A TU EJERCICIO, SI YA HAS APRENDIDO LA RESOLUCION DE ESTOS EJERCICIOS POR CAMBIO DE VARIABLES, PUEDES VERIFICAR LAS RESPUESTAS Y NOTARAS QUE EL RESULTADO ES EL MISMO.
Avatar Alexander Aragón dice:
Wednesday, January 7, 2015
debe tener esa solucion porq se trata de una ecuación diferencia NO homogénea y TODA ecuaciónNO homogénea debe tener SIEMPRE esa forma
Avatar orlando Rodriguez Velez dice:
Wednesday, January 7, 2015
eso es un torema de las ecuaciones diferenciales ordinarias. Deberia buscar una buena demostración del mismo en el libro de William E. Boyce y Richard C. DiPrima.
Avatar miguel macana dice:
Wednesday, January 7, 2015
cuando una ecuacion diferencial es no homegenea, osea que esta igualada a un valor diferente a cero, la solucion de esta ecuacion va depender de YC+YP. donde YC es la solucion a la ecuacion homogenea y YP seria la solucion de lo q hace la ecuacion no homogenea.
Avatar david felipe galvis dice:
Wednesday, January 7, 2015
Cuando se tiene q resolver una ecuacion diferenxial existen muchas soluciones y para poder expresarla se tiene q tener una solución general y una particular para llegar a resolver la ecuacion .cada ecuacion tiene diferentes formas para resolverla la q ud quiere expresar es la forma de una ecuacion lineal de primer orden donde tiene q mirar la solución mediante un factor integrante
Avatar Horacio Urteaga Becerra dice:
Wednesday, January 7, 2015
Una ecuación líneal de primer orden: dy/dx+P(x)y=Q(x) se puede resolver por el método del factor integrante, que nos arroja directamente la solución que es equivalente a obtenerlo como Y=Yc + Yp , donde Yc es la solución complementaria que corresponde a resolver dy/dx+P(x)=0 y Yp es la solución particular que se halla asumiendo que es de la misma forma que la solución complementaria, pero cambiando la constante por una función u(x).
Avatar Martín Escorcia dice:
Tuesday, November 18, 2014
¿Tiene las demostraciones de los métodos en otros videos?
Me gustaría observarlas.
Saludos desde México.
Avatar Roger Santos dice:
Friday, September 19, 2014
QUE BUENA PAGINA, de verdad te felicito y agradezco la gran ayuda que nos brindas a todos, y totalmente gratis, explicas de una manera clara y concisa, y eso también es importante. Un saludo desde Cali!
Avatar Roberto Cuartas dice:
Monday, September 22, 2014
Un saludo desde Medellín ;)
Avatar emerson palacio otalvaro dice:
Sunday, July 27, 2014
parcero solo resta por decirle gracias por todo de verdad que estos cursos son excelentes

Att: emerson palacio
medellin
Avatar Roberto Cuartas dice:
Monday, July 28, 2014
Gracias por el comentario. Espero que le cuentes a otros acerca de nosotros ;)
Avatar anna karinha sanchez medina dice:
Sunday, June 22, 2014
Muchas gracias, por sus conocimientos compartidos.
Avatar sebastian acevedo dice:
Wednesday, March 19, 2014
Buen día, hacen una aclaración con un negativo que por error lo pusieron, mi pregunta es ¿en todas las exponenciales que estan elevadas a la integral de P(x)dx están con el signo cambiado o solo la que especifican alli? (minuto 16:28)

Cordial saludo y de antemano gracias
Avatar Roberto Cuartas dice:
Thursday, March 20, 2014
el factor integrante es con e^P(x)dx donde P(x)dx es con el signo positivo
Avatar Gabby Benítez dice:
Tuesday, November 5, 2013
.
Avatar janne jaramillo dice:
Monday, August 26, 2013
E ENTENDIDO BASTANTE!! GRACIAS
Avatar Roberto Cuartas dice:
Tuesday, August 27, 2013
No olvides descargar el app gratuito de tareasplus para tu teléfono y tablet. Estamos para iOS y Android
Avatar Sebastian Serna dice:
Monday, August 19, 2013
por que y=yc mas yp ???
Avatar Roberto Cuartas dice:
Tuesday, August 20, 2013
En el curso no tenemos la demostración pero puedes encontrarla en cualquier texto de ecuaciones diferenciales
Avatar cristhian rengifo dice:
Monday, June 24, 2013
quisiera tener informacion sobre campo de direcciones
Avatar Roberto Cuartas dice:
Tuesday, June 25, 2013
Aún no tenemos el curso de cálculo vectorial, cuando esté disponible vamos a notificarte
Avatar Rafael Changaray dice:
Wednesday, June 5, 2013
Mejoró mis notas en la universidad, gracias.
Avatar Roberto Cuartas dice:
Wednesday, June 5, 2013
Nos alegra saberlo.
Recuerda contarle a tus amigos acerca de nosotros para que ellos también puedan aprovechar nuestro contenido.
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Avatar Darwing Estrada dice:
Thursday, August 1, 2013
""Muchas felicidades , sinceramente están haciendo de mucha ayuda ""
Avatar mara banquez dice:
Thursday, May 9, 2013
excelentes vídeos muchicimas graciasss.....
Avatar Roberto Cuartas dice:
Friday, May 10, 2013
Y recuerda que puedes verlos en tu télefono o tablet
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