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Ecuación lineal de primer orden (ejemplo 1)

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Lección 11 - factor integrante


Ejemplo del método de solución de una ecuación diferencial lineal de primer orden mediante el uso de un factor integrante.

En el ejemplo se muestra como encontrar el factor integrante identificando primero a p(x) llevando la ecuación original a la forma y'+p(x)y=f(x)
Una vez encontrado este factor integrante se procede a multiplicar la ecuación para llevarla a una forma integrable que permite despejar a y para encontrar finalmente la solución

En este video veremos un ejemplo de cómo resolver una ecuación diferencial lineal de primer orden, tenemos entonces la siguiente ecuación: xdy/dx-4y=(x^6)(e^x). Lo primero que debemos hacer para resolver este problema es verificar si la ecuación diferencial es una ecuación diferencial lineal, como vemos, la ecuación es lineal pero presenta el problema de que la variable x está multiplicando a una derivada, entonces debemos transformar la ecuación de tal manera que esto no suceda, para ello dividimos a ambos lados de la ecuación por x, la ecuación entonces adquiere la siguiente forma: dy/dx-4y/x=(x^5)(e^x) ,y debemos tener en cuenta que x tiene que ser distinto de cero. Esta ecuación tiene una forma asociada a la solución de este tipo de problemas, la forma que tiene esta ecuación es entonces: dy/dx+p(x)y=f(x), es decir una derivada que suma o resta un polinomio de x que está multiplicando la y, todo esto igualado a una función de x, como vemos en nuestro problema p(x) = 4/x y f(x)= (x^5)(e^x).

El término p(x) es el término fundamental para la solución de nuestro problema ya que nos permite hallar el factor integrante que está definido como: e^∫p(x)dx, como vemos tenemos que hallar la integral de la función p(x), esta integral es igual a:∫p(x)dx=∫-4/x dx=-4lnx=lnx^-4, entonces: e^∫p(x)dx=e^(lnx^-4,)= x^-4, este valor es nuestro factor integrante. Una vez hallado el factor integrante lo que hacemos es multiplicar este factor por la ecuación diferencial lineal, tenemos entonces: (x^-4)(dy/dx)-(4/x^5)(y)=(x)(e^x), la importancia de esta trasformación es que la parte izquierda de esta ecuación, es la derivada con respecto a x del factor integrante multiplicada por y, es decir: d/dx((x^-4)(y))= x(e^x). Por último lo que debemos hacer es integrar a ambos lados y despejar a y, en el video se muestra de manera más detallada como realizan este procedimiento y llegan a la solución final de la ecuación diferencial lineal.
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Comentario


# Comentarios
Avatar Javier El Busto dice:
Thursday, February 27, 2014
Excelente vuestro curso de ecuaciones diferenciales! Ahora bien, tengo una gran duda que me corroe. ¿Por qué al integrar 1/x se usa como primitiva ln(x)? ¿No debería de ser ln(|x|)? Entiendo que no es necesaria la constante de integración en este caso, pero la desaparición del valor absoluto me trae de cabeza. He recorrido un montón de foros de matemáticas y solo encuentro confusión. Unos dicen que la cte de integración puede considerarse compleja y eso absorbe el abs. Otros, que se puede definir el ln a trozos con ln(x) en x's positivas y ln(-x) en las x's negativas, con ctes de integración diferentes a cada lado... en fin, no entiendo nada. Agradecería mucho su ayuda. Un saludo
Avatar Roberto Cuartas dice:
Thursday, February 27, 2014
Cuando estés calculando una integral definida usa el valor absoluto. Mientras no es necesario ya que sabemos que x debe ser positivo para encontrar el logaritmo. Si integras 1/x entre -3 y -2 necesitas tomar el valor absoluto de los límites. Tendrías Ln2 -ln3
Avatar Javier El Busto dice:
Friday, February 28, 2014
Muchas gracias por la respuesta, Carlos. La meditaré detenidamente. Un saludo!
Avatar Javier El Busto dice:
Friday, February 28, 2014
(perdón, Roberto, a estas horas de la mañana mi cerebro aún la lía con facilidad :) )
Avatar Juan David Aragón Jaramillo dice:
Saturday, January 04, 2014
hola, excelentes cursos muchas gracias por ellos, en el minuto 9:03 cuando dices que desaparece la derivada con la integral de ( integral((x^-4)(y))dy) ) no me queda nada claro he visto que dices que solo queda así pero agradecería si me explicas un poco mas porque lo integre en términos de "y" pensando que era así pero me quedo mal.
Avatar Roberto Cuartas dice:
Monday, January 06, 2014
Cuando integras con respecto a x la derivada con respecto a x de algo desaparece la derivada porque son operaciones inversas. Estamos integrando con respecto a x a d/dx (x^-4 * y) entonces queda solo x^-4 * y
Avatar Juan David Aragón Jaramillo dice:
Monday, January 06, 2014
muchas gracias por su respuesta, al verlo de ese modo queda claro. y creo que la confusión la tenia porque pensaba q de el d/(dx) el "(dx)" que acompaña al lado izquierdo se pasaba al lado derecho
Avatar MANUEL ALBERTO FERNANDEZ dice:
Thursday, October 10, 2013
Quede muy satisfecho con las explicaciones, muchas gracias.
Avatar Roberto Cuartas dice:
Thursday, October 10, 2013
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Avatar MANUEL ALBERTO FERNANDEZ dice:
Thursday, October 10, 2013
Q
Avatar Tatiana Velez Ospina dice:
Wednesday, September 11, 2013
Gracias... Estoy vídeos son super útiles... Y el app es increíble ahora estudio en todas partes
Avatar Roberto Cuartas dice:
Wednesday, September 11, 2013
Nos alegra mucho saberlo.
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Avatar andreina giral dice:
Monday, September 09, 2013
en la parte 9:08 por que desaparece la integral
Avatar Roberto Cuartas dice:
Tuesday, September 10, 2013
Al integrar la derivada de x^-(4) * y se obtiene
x^-(4) * y.
Avatar Anibal Navarro dice:
Tuesday, August 27, 2013
Exclente todos los videos me pasiona las matematicas... aunke ya tuve un curso introductorio a esto en mi U, repaso mas y apredo mas GRACIAS =)
Avatar Roberto Cuartas dice:
Wednesday, August 28, 2013
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Avatar Carlos Eduardo Atencia Olivero dice:
Friday, August 23, 2013
Excelente muchas gracias por dedicar su tiempo hacer estos vídeos que son de mucha utilidad a la hora de estudiar...! sigan publicando vídeos que muchas personas se lo agradecemos.
Avatar Roberto Cuartas dice:
Monday, August 26, 2013
Claro que vamos a continuar.
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Avatar zamm Hra dice:
Monday, August 12, 2013
Excelente material,. muy buena la explicacion.... solo con una pregunta cuando se usa el factor integrante nunca va ser negativo.., es que yo un bideo de las ecuaciones de bernulli y tenia una correcion donde decia q el factor integrante no llevava signos negativos... pero no me quedo claro .. gracias..
Avatar Roberto Cuartas dice:
Monday, August 12, 2013
El factor integrante toma a p(x) con el signo que viene. No se le adiciona el menos.
Avatar Jhon Fredy Trujillo dice:
Thursday, July 04, 2013
Muchas gracias estoy aprendiendo y repasando mucho con estos videos
Avatar Roberto Cuartas dice:
Friday, July 05, 2013
Nos alegra mucho saberlo. Recuerda contarle a tus amigos acerca de nosotros para que ellos también puedan aprovechar nuestro contenido. No olvides descargar el app gratuito de tareasplus para tu teléfono y tablet. Estamos para iOS y Android
Avatar Noel dominguez dice:
Sunday, June 23, 2013
Muchas gracias de verdad que tus vídeos si me ayudaron mucho :) saludos desde México
Avatar Roberto Cuartas dice:
Tuesday, June 25, 2013
Un saludo desde Colombia
Avatar Raúl Enrique Martínez dice:
Wednesday, June 26, 2013
Hola Profesor Cuartas la verdad estoy encantado con tu curso estoy aprendiendo mucho, mil gracias
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