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Derivadas de transformadas de laplace

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Relación entre la transformada de laplace de una función t^n por una función f(t) y la derivada de una transformada.

En este video mostramos un teorema que nos muestra que la transformada de t^n x f(t) es igual (-1)^n por la derivada n-ésima de F(s) con varios ejemplos de uso

En este video veremos un teorema que nos va a permitir encontrar la transformada de Laplace para la multiplicación de una función t^n por una función f(t), el teorema nos dice lo siguiente: L[(t^n) f(t)]=(-1)^n[(d^n/ds^n)F(s)], en donde (d^n/ds^n) es la n-esima derivada de la función , F(s) es la transformada de la función f(t) y n es un entero positivo. Para observar el uso de este teorema nos proponen el siguiente ejemplo: Hallar la transformada de Laplace de: L[t(e^3t)], vemos que esta transformada también se podría resolver por el primer teorema de translación, pero para efectos del caso, supondremos que no conocemos dicho teorema, por lo que vamos a usar el teorema que enunciamos al principio de la descripción, aplicando el teorema, tenemos entonces que: L[t(e^3t)]=(-1)^1[(d/ds)L(e^3t)], teniendo en cuenta que para este caso n=1. Entonces lo primero que tenemos que hacer para solucionar este problema es hallar la primera derivada de la transformada de la función f(t), es decir: [(d/ds)L(e^3t)],para ello, tenemos que hallar la transformada y luego derivarla.

Teniendo en cuenta lo visto en los videos anteriores, vemos que la transformada de la función es igual a: L(e^3t)=1/s-3, reemplazando este resultado en ecuación solución del teorema, tenemos: L[t(e^3t)]=(-1)^1[(d/ds)(1/s-3)], ahora lo que tenemos que hacer para solucionar totalmente el problema es derivar la función resultante, vemos que la derivada de la función resultante es igual a: [(d/ds)(1/s-3)]=-1/(s-3)^2, reemplazando este resultado en la solución, tenemos finalmente que: L[t(e^3t)]=1/(s-3)^2. En el video se muestra de manera detallada la solución de otros problemas más complejos, que usan este teorema para hallar la transformada de Laplace.
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