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factor integrante

solución de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden mediante el uso de un factor integrante

En este video veremos el método del factor integrante para dar solución a una ecuación diferencial de primer orden. Vemos que una ecuación diferencial lineal tiene la siguiente forma: [a1(x)]dy/dx+[a0(x])y=g(x), para resolver problemas de este tipo debemos transformar la ecuación convenientemente para que adquiera la siguiente forma: dy/dx+[(a0(x)/a1)(x])y = g(x)/a1(x), como vemos estos se logra al dividir la ecuación diferencial lineal por el término que acompaña la derivada, en este caso a1. Podemos decir que esta nueva ecuación tiene una forma simplificada que nos ayudara con la solución de este tipo de problemas, la forma simplificada es la siguiente: dy/dx+p(x)y=f(x), donde p(x)= [(a0(x)/a1)(x]) y f(x)= g(x)/a1(x), esta ecuación es la que usaremos para dar solución a las ecuaciones utilizando el método del factor integrante. 

El factor integrante se define como: e^∫p(x)dx, una vez hallado el factor integrante el siguiente paso es multiplicar la ecuación por dicho factor, entonces tenemos: e^∫p(x)dx [y^'+p(x)y]=e^∫p(x)dx [f(x)], lo interesante de esta ecuación resultante es que la parte izquierda de la igualdad es igual a la derivada con respecto a x del factor integrante multiplicada por y, es decir: d/dx[e^∫p(x)dxy]= e^∫p(x)dx [f(x)], esta relación se puede demostrar fácilmente si efectuamos la derivada del producto de la parte izquierda de la ecuación, y vemos que efectivamente que es equivalente a la ecuación que teníamos anteriormente. Una vez expresada la ecuación de la manera: d/dx[e^∫p(x)dxy]= e^∫p(x)dx [f(x)], vemos que esta se resuelve fácilmente por el método de variables separables, es decir podemos separar las variables, luego integrar y despejar a y de la ecuación, que es en sí lo que se busca para solucionar este tipo de ecuaciones. En el video se muestra de manera detallada el procedimiento del factor integrante aplicándolo a problemas numéricos.
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