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Integrales que generan logaritmos naturales parte 2

Integrales que generan logaritmos naturales.

Tres ejemplos prácticos de cuando utilizar la fórmula para la integral del cociente entre la derivada de una función y la función en sí.

Se muestra como integrar:

1. Tangente de x, 
2. Una función donde el denominador es una función lineal y el numerador es una constante
3. El cociente entre dos funciones lineales

En este video veremos algunos problemas donde aplicaremos artilugios matemáticos con el fin de llevar las integrales de algunas funciones a una forma en donde podamos aplicar las siguientes fórmulas: ∫〖(1/x)dx=〗 lnx + C y ∫〖[(f^' (x))/f(x) ]〗 = lnf(x) +C. El primer problema es el siguiente: Solucionar la siguiente integral: ∫tanxdx,para resolver este problema lo que debemos hacer es llevar la función que esta dentro de la integral a una de las dos formas mencionadas anteriormente, en este caso si expresamos la tangente como tanx=senx/cosx podemos emplear la segunda fórmula debido a que la derivada del coseno es menos seno, teniendo en cuenta lo anterior tenemos entonces que: ∫tanxdx= -∫(-senx)/cosx)dx = -ln(cosx)+ C = ln(cosx)^-1+C= ln(secx)+C. El segundo problema es: Solucionar la siguiente integral:∫〖1/(2x〗+3)dx, para resolver este problema lo que debemos hacer multiplicar y dividir entre dos a la integral, de tal manera que: ∫〖1/(2x〗+3)dx =(1/2)∫〖2/(2x〗+3)dx , como vemos si decimos que f(x) = 2x+3 vemos que f’(x) = 2 por lo que podemos usar la segunda fórmula y hallar así el valor de la integral, tenemos entonces que: ∫〖1/(2x〗+3)dx=(1/2)∫〖2/(2x〗+3)dx = (1/2)ln(2x+3)+ C. El tercer problema es: Solucionar la siguiente integral: ∫〖(x+1)/(x-2)dx〗, para resolver este problema lo que debemos hacer es sumar y restar en el numerador al número 2 y luego asociar términos de tal manera que la integral adquiera la siguiente forma: ∫〖(x+1)/(x-2)dx〗=∫〖(x+1+2-2)/(x-2)dx〗=∫〖[(x-2)+3]/(x-2)〗, por algebra tenemos que: ∫〖[(x-2)+3]/(x-2)〗=∫〖{[(x-2)/(x-2)〗-3/(x-2)}dx, aplicando las propiedades que conocemos de la integración tenemos entonces que el valor de esta integral es: ∫〖{[(x-2)/(x-2)〗-3/(x-2)}dx = x-3ln(x-2) +C. En el video se muestra de manera detallada todos los pasos efectuados para resolver estas tres integrales.
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