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Integral mediante cambio de variable

Se muestra cómo encontrar la primitiva de una función mediante el uso del cambio de variable para simplificar el proceso de integración


Este método también se conoce con el nombre de sustitución.

En este video vamos a resolver un problema por el método de cambio de variable o sustitución, recordemos que este método consiste en que si tenemos una integral expresada en términos de x, es decir ∫f(x)dx, debemos tratar de convertirla mediante una sustitución a una integral expresada en términos de otra variable como por ejemplo: ∫f(t)dt y obtener así una expresión más fácil de integrar. El problema que vamos a solucionar en este video es el siguiente: Resolver la siguiente integral: ∫〖√lnx/x dx〗, como veíamos en los videos pasados lo que nos recomendaban en este método era tomar los factores que estén elevados a una potencia o que se encuentren dentro de raíces o que estén presentes en el denominador de la función para realizar la sustitución, entonces lo primero que debemos hacer para resolver esta integral es reescribirla en términos que se pueda observar mucho mejor como efectuar una sustitución conveniente, tenemos entonces que ∫〖√lnx/x dx〗 = ∫〖1/x (lnx)^(1/2) dx〗, entonces, si hacemos caso de las recomendaciones tenemos que t=lnx, como vemos esto no es suficiente debido a que hay más elementos de la integral que están en términos de x, entonces lo que debemos hacer es tratar de expresar todos los términos de la integral en función de t, vemos que si derivamos a t con respecto a x tenemos que: dt/dx=1/x, y podemos despejar a dx en términos de t como dx=xdt, reemplazando estas sustituciones en el integral tenemos que: ∫〖1/x (√lnx)^(1/2) dx〗 =∫〖1/x (t)^(1/2) xdt〗 = ∫〖(t)^(1/2) dt〗, como vemos esta integral es mucho más fácil de resolver que la integral original, tenemos entonces que: ∫〖(t)^(1/2) dt〗 = (2/3)(t)^3/2+C , muchos pensarían que este sería el resultado de la integración pero no lo es, debemos regresar nuevamente a la variable original esto se logra sustituyendo la t en términos de x, tenemos entonces que el resultado final de la integración es: ∫〖1/x (√lnx)^(1/2) dx〗 =(2/3)(lnx)^3/2+C.
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