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Integración mediante Fracciones parciales (conceptos 1)


Técnicas de integración: Fracciones Parciales parte 1.

Conceptos generales sobre el uso de las fracciones parciales para encontrar la primitiva de una función.

Se muestra en que casos es posible utilizar dicho método y se da un breve repaso de como representar mediante fracciones parciales una función racional cuyo denominador es factorizable.

Hasta ahora hemos hablado de varias técnicas o métodos para encontrar primitivas de funciones. Hablamos de la sustitución directa o simple, integración por partes, sustitución trigonométrica, en algunos casos específicos para las funciones trigonométricas vimos algunas fórmulas como la integral de una función a la n por su derivada, o la integral de la derivada de una función sobre una función. En este video se habla de una técnica muy poderosa para encontrar primitivas conocida como fracciones parciales. Esto consiste en expresar una función racional en términos de sumas o restas de otras funciones racionales, lo que nos permite encontrar primitivas de una forma más simple. Se explican entonces los conceptos básicos y en los próximos videos se realizan ejemplos. 

Si tenemos la integral de una función racional con numerador P(x) y denominador Q(x), deben cumplir que P(x) y Q(x) sean polinomios de grados m y n respectivamente, para utilizar las fracciones parciales. Cuando m es mayor o igual que n, sucede que podemos realizar la división, o expesando el cociente de la forma P(X)/Q(X) = C(x)+ R(X)/Q(x). Cuando m es menor que n es cuando vamos a utilizar fracciones parciales, que consiste expresar el cociente como una suma de fracciones, lo cual es posible siempre que Q(x) sea factorizable, y ayuda a que podamos integrar más fácil. Para explicar la integración mediante fracciones parciales se explican primero varios conceptos. Debe aclararse que m puede ser cero, es decir, que en el numerador podemos tener un número. Podemos tener un número sobre un polinomio y de igual manera lo podemos expresar como una suma de fracciones. 

Esta técnica se puede utilizar si Q(x) es factorizable. Cuando factorizamos un polinomio nos encontramos con términos lineales y términos cuadráticos no factorizables. Si tenemos factores lineales podemos representar la expresión como una constante sobre el primer factor lineal más otra constante sobre el segundo factor lineal, lo que nos interesa entonces es encontrar esas constantes de manera que la igualdad se cumpla. Para ello resolvemos el sistema de ecuaciones que se nos genera. Se sugiere asignar valores arbitrarios a x. Ahora bien, el otro caso posible es cuando tenemos factores lineales repetidos, para lo cual podemos encontrar las fracciones parciales escribiendo cada término lineal bajo una constante, y vamos colocando en el denominador cada factor comenzando sin el exponente hasta que alcancemos el grado. En el siguiente video se continúa con el ejemplo en el cual se hallan las fracciones parciales para casos en los que tenemos factores lineales repetidos.
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