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Cálculo del área bajo una curva por integración ejemplo 1

Ejemplo de como calcular el área bajo una curva mediante el uso de las integrales definidas.

En este ejemplo en particular se halla el área que forma la función y=x^2-1 (parábola) con el eje x en el intervalo x=0 y x=2 partiendo la integral en dos partes ya que la función es negativa en el intervalo 0;1.

En este video vamos a usar el teorema fundamental del cálculo para encontrar el área bajo la curva de la siguiente función: f(x)=(x^2)-1 con xϵ[0,2]. Recordemos que lo que nos dice el teorema fundamental del cálculo es el área bajo una curva se puede hallar mediante la integración de la función en donde el resultado del área es igual a la primitiva de la función evaluada en el límite superior menos la primitiva de la función evaluada en el límite inferior, es decir, ∫f(x)dx= F(b)-F(a), entonces para resolver nuestro problema lo primero que tenemos que hacer es dibujar la función tal y como se muestra en el video, como podemos ver la gráfica de la función es una parábola, una vez hecha la gráfica de la función miremos que pasa en el intervalo de interés, notemos que se tiene un área negativa para valores de x entre cero y 1 y luego tenemos un área positiva para valores de x entre 1 y 2, entonces si integramos la función entre cero y dos lo que obtendríamos sería la suma de estas áreas, es decir, estaríamos restando las áreas ya que hay una positiva y una negativa, pero lo que nos interesa es el valor absoluto de la suma de estas áreas , entonces lo que debemos hacer es separar la integral y hallar las respectivas áreas de cada uno de los intervalos y luego sumar estas áreas tomando sus valores positivos, resolvamos primero la integral de la función entre cero y 1, es decir:∫〖x^2-1dx〗, evaluada entre cero y uno, al aplicar las propiedades de la integral definida tenemos que: ∫〖x^2-1dx〗 = x^3/3 –x, entonces evaluando entre 0 y 1 tenemos que: ∫〖x^2-1dx〗 = [(1^3/3)-1]-[(0^3/3)-0]= -2/3, como vemos esta área da negativa ya que se encuentra debajo del eje x, una vez hecho esto hallamos el valor de la integral pero ahora evaluada entre 1 y 2, aplicando el mismo mecanismo de integración tenemos que: ∫〖x^2-1dx〗 = x^3/3 –x, entonces evaluando entre 1 y 2 tenemos que: ∫〖x^2-1dx〗 = [(2^3/3)-2]-[(1^3/3)-1]= 4/3, entonces el área total bajo la curva es A=2/3+4/3=2.
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