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Derivada de una potencia de x (demostración)

Seguramente la propiedad más importante que existe en el cálculo de la derivada de una función es precisamente la derivada de una función que es potencia de x.

En este video mostramos la propiedad que permite calcular de forma ágil este tipo de derivadas.

Se demuestra mediante la definición de derivada como límite que la derivada de x^n es nx^(n-1) (bajamos a multiplicar el exponente y restamos uno al mismo)

En este video veremos la demostración del la propiedad más importante que existe en el cálculo de la derivada de una función que es precisamente la derivada de una función que es potencia de x, esta propiedad nos dice que si tenemos una función f(x) = x^n la derivada de esta función se puede hallar como f’(x)= n(x)^n-1, es decir, bajamos el exponente a multiplicar y la variable queda elevada a la potencia menos uno. Para demostrar esta propiedad, entonces partamos del concepto de límite, recordemos que la definición de la derivada haciendo uso del límite es la siguiente: f’(x)= lim(h→0){[f(x+h)-f(x)]/h}, entonces, si aplicamos la definición de derivada en nuestra función, teniendo en cuenta que cuando nos referimos a f(x+h) lo que queremos decir es que en la función en donde se encuentre el término x se reemplace por el término (x+h), la derivada de la función es: f’(x)= lim(h→0){[(x+h)^n-x^n]/h}, si expresamos la h del denominador como h= (x+h)-x podemos expresar la derivada de la siguiente manera: f’(x)= lim(h→0){[(x+h)^n-x^n]/(x+h)-x}, si observamos detenidamente esta expresión, vemos que este es uno de los límites especiales para los cuales habíamos demostrado su valor en los videos anteriores, teniendo en cuenta esto y realizando un cambio de variables conveniente, decimos entonces que f’(x^n)= lim(x+h→x){[(x+h)^n-x^n]/(x+h)-x} = n(x)^n-1. Para ver de manera más clara como se usa esta propiedad se propone resolver el siguiente problema: Halle la derivada del la siguiente función: f(x) = 7+8(x)^3, entonces si aplicamos que la derivada de una suma es igual a la suma de la derivadas de cada uno de los términos tenemos que: f’(7+8(x)^3) = 0+3(8)(x)^3-1 = 24(x)^2. En el video se ven muchos más ejemplos de la aplicación de esta propiedad fundamental.
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