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Cálculo de límites indeterminados mediante racionalización 9

Cálculo de un límite indeterminado de la forma 0/0 mediante el uso de racionalización

En este noveno ejemplo resuelto se muestra como proceder a calcular un límite utilizando la conjugada de una diferencia donde aparecen raíces cúbicas lo que obliga a racionalizar para eliminar la indeterminación que aparece al evaluar directamente el valor de x en la función

Hemos visto en los videos anteriores como usar la factorización para hallar límites indeterminados, sin embargo no siempre es posible factorizar y debemos hacer uso de otras herramientas algebraicas, en este video veremos un ejemplo resuelto de cómo hallar un límite indeterminado 0/0 mediante el uso de la racionalización . El problema es el siguiente: Hallar el límite de la siguiente función: lim(x→27)[(x-27)/(∛x-3)], como vemos, si aplicamos el hecho de que lím(x→a)[f(x)] = f(a) y evaluamos la función en 1 surge una indeterminación debido a que tendríamos lo siguiente: lim(x→27)[(x-27)/(∛x-3)]=[(27-27)/(∛27-3)]= 0/0, lo que nos indica este resultado es que nosotros debemos emplear alguna maniobra matemática que permita eliminar esta indeterminación tal como la factorización o la racionalización, en este caso emplearemos la racionalización, basados en los casos de factorización multiplicamos tanto el numerador y el denominador por la conjugada del denominador que es (∛(x^2)+∛27x+∛(27^2)), multiplicando entonces por la conjugada el límite adquiere la siguiente forma: lim(x→27)[(x-27)/(∛x-3)]= lim(x→27)[(x-27)/(∛x-3)][ (∛(x^2)+∛27x+∛(27^2))/ (∛(x^2)+∛27x+∛(27^2))] , si efectuamos las operaciones pertinentes y simplificamos la expresión nos queda que: lim(x→27)[(x-27)/(∛x-3)]=[(x-27)( ∛(x^2)+3∛x+9)/(x-27)]= lim(x→27)[( ∛(x^2)+3∛x+9)], si evaluamos la función en 27 obtenemos finalmente el límite de esta función, tenemos entonces que: lim(x→27)[( ∛(x^2)+3∛x+9)]= (∛(27^2)+3∛27+9)= 27. En el video se muestra de manera detallada como se obtuvo la conjugada del denominador y las respectivas simplificaciones de los términos obtenidos para así poder resolver este problema.
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