Aplicaciones de la integral definida
Cálculo del volumen de una esfera de radio r (deducción de la fórmula del volumen de una esfera).
En esta serie de ejemplos resueltos sobre volumen de sólidos de sección conocida se resuelve este problema que usa el hecho de que una esfera es la suma de secciones circulares

Este video es el segundo de una serie de ejemplos en los que se muestra cómo hallar el volumen de sólidos de sección conocida utilizando integrales. En este caso vamos a deducir la fórmula de volumen para una esfera utilizando la integral definida. Para ello ubicamos en un eje de coordenadas xy una circunferencia de radio r centrada en el origen. De forma tal que la ecuación de esa circunferencia sea igual a x^2+y^2=r^2. Si nosotros hacemos girar con respecto al eje x, la mitad de esa circunferencia vamos a formar ese sólido, de ahí que podemos decir que se forma una esfera, siendo esa esfera un sólido de revolución. Pero dicha esfera también se puede formar sumando pequeñas monedas o discos cerrados que van desde desde el punto (0,-r) hasta el punto (0,r).

Obviamente las monedas acotadas por la circunferencia. Si cortamos la esfera con un plano paralelo a el eje x, y miramos desde arriba o de frente, siempre vamos a ver la esfera como una circunferencia. Dicho esto, entonces tenemos que es un sólido de sección conocida. Para solucionar un problema de estos debemos determinar el volumen del pequeño diferencial, que en este caso es igual al área de la circunferencia por el radio al cuadrado, multiplicado por el espesor (dy). Recordemos que el volumen de una moneda o disco cerrado es igual al área de la circunferencia por el espesor pi, por x cuadrado, por dy. Como lo que nos interesa es todas las monedas que van desde arriba abajo, por lo que podemos decir que el volumen es la integral desde menos r, hasta r, de pi por x al cuadrado por el diferencial de y. Podemos despejar a x cuadrado de la ecuación de la circunferencia y de esta manera obtener la integral en términos de y.