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Deducción de la fórmula de longitud de arco

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Deducción intuitiva de la fórmula que existe para encontrar la integral de arco de una curva usando la integral definida
Dentro de las tantas aplicaciones de la integración definida encontrar la longitud de arco de una curva en coordenadas polares es una de las importantes.
Cabe aclarar que no siempre es posible usar la fórmula ya que muchas veces la integral que se genera no tiene primitiva y por tanto debe usarse series de potencia u otro método de aproximación

En este video se deduce intuitivamente una de las fórmulas más importantes que existen en la aplicación de la integral definida, que es la fórmula para encontrar la longitud de arco de una curva cualquiera y=f(x) en un intervalo a,b. La fórmula nos dice que la longitud de arco es igual a la integral entre a y b, de la raíz cuadrada de 1 más la derivada de la función al cuadrado, por el diferencial de x. Recordemos qué es el concepto de longitud de curva, que es un concepto similar que decimos para figuras simples como es el perímetro. En el caso de un cuadrado de lado L, el perímetro sería igual a 4 L. El perímetro de una circunferencia de radio r, decimos que la longitud es como si desenvolviéramos dicha circunferencia, obteniendo como resultado de su longitur a 2pi por r.

Dicho esto podemos comenzar con la deducción de la fórmula pensando en ese concepto aplicado en una función cualquiera, particionandola, y aproximando. Para aproximar podemos partir la curva en varios puntos L1, L2, L3, L4… podemos decir que su suma se aproxima a la longitud de la curva. Si se quiere obtener una aproximación más cercana hacer una mejor partición, es decir, realizar más particiones. Debemos particionar de tal forma que el ancho del intervalo que tenemos, sea casi igual a cero. Si observamos qué sucede en un solo intervalo de la curva, y trazamos dos rectas que formen un triángulo rectángulo, su ancho sería igual a la variación de x o delta de x que para todos los fragmentos es igual, dado que dividimos en partes iguales.

Observemos que en y también tenemos un cambio de altura, el cual llamamos delta de y. Si abstraemos el triángulo y le sobreponemos un fragmento de curva, denominado como diferencial de área o dL. Tenemos también en el triángulo un delta de L, el cual podemos acercar al diferencial de L haciendo que delta de x sea más pequeño. Utilizando Pitágoras podemos deducir el cuadrado de la hipotenusa, que en este caso es delta de L, y de allí despejar la variación de L respecto a x, cuando delta de x se hace casi cero.
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Comentario


# Comentarios
Avatar Shijiro Jackson dice:
Monday, July 21, 2014
no se pueden descargar estan proteidos?
Avatar Roberto Cuartas dice:
Tuesday, July 22, 2014
Puedes pagar el derecho a descargarlos si eso necesitas. Haz clic en donde dice descarga a tu PC
Avatar Pablo Rubio Pascual dice:
Friday, December 13, 2013
Enhorabuena por los tutoriales.
Mi más sincero agradecimiento desde Madrid.

Avatar Roberto Cuartas dice:
Saturday, December 14, 2013
Gracias por el comentario. Recuerda contarle a tus amigos acerca de nosotros para que ellos también puedan aprovechar nuestro contenido. No olvides descargar el app gratuito de tareasplus para tu teléfono y tablet. Estamos para iOS y Android. Así puedes estudiar con tareasplus donde y cuando quieras ;)
Avatar German Gonzalez dice:
Monday, September 30, 2013
Muchas Gracias por los tutoriales, la verdad que es un sacrificio enorme realizar tantos tutoriales y de distintas materias. Soy estudiante de ing Eléctrica y ya desde el año pasado que sigo esta pag, primero por youtube. Logre pasar los exámenes de Análisis al igual que Algebra. Desde ya saludos a todos por tanta ayuda, desde Santa Fe, Argentina.
Avatar Roberto Cuartas dice:
Tuesday, October 01, 2013
Muchas gracias por el comentario. Nos alegra saber que tenemos un gran seguidor de lo que hacemos. Un saludo desde Colombia.
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Avatar arturo araucano carrillo dice:
Friday, May 31, 2013
que maestro muy buena pagina no se como no la encontré antes =)
Avatar Roberto Cuartas dice:
Monday, June 03, 2013
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Avatar garcilazo De la Roca dice:
Thursday, May 23, 2013
Gracias, poco a poco voy construyendo para hallar la fórmula que necesito para hacerla yo mismo. Gracias. TareasPlus.
Avatar Roberto Cuartas dice:
Friday, May 24, 2013
Esperamos que continues con el resto del curso ;)
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